Проверь равенства: а) 1/(2*4) = 1/2 * (1/2 - 1/4)

Конечно, давай разберемся с этими алгебраическими дробями! 1) Проверим равенства: a) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$ $\frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4})$ $\frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ $\frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ - верно! б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6})$ $\frac{1}{24} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12})$ $\frac{1}{24} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12}$ $\frac{1}{24} = \frac{1}{24}$ - верно! в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$ $\frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$ $\frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15}$ $\frac{1}{15} = \frac{1}{15}$ - верно! г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$ $\frac{1}{35} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35})$ $\frac{1}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35}$ $\frac{1}{35} = \frac{1}{35}$ - верно! Все равенства оказались верными! Теперь составим ещё несколько похожих равенств. Заметим, что все эти равенства имеют вид: $$\frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$$ где $n$ - это любое число. Например: $\frac{1}{8 \cdot 10} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8} - \frac{1}{10})$ Проверим: $\frac{1}{80} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{40} - \frac{4}{40})$ $\frac{1}{80} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40}$ $\frac{1}{80} = \frac{1}{80}$ - верно! 2) Применим доказанное равенство для упрощения выражения: a) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + ... + \frac{1}{23 \cdot 25} =$ $= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + ... + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{23} - \frac{1}{25}) =$ $= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{23} - \frac{1}{25}) =$ $= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{25}) =$ $= \frac{1}{2} \cdot (\frac{25}{75} - \frac{3}{75}) =$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} =$ $= \frac{11}{75}$ **Ответ: $\frac{11}{75}$**