Объясни, как решить задачи 1, 2 и 3 про метод математической индукции для 10 класса

Давай разберем эти задачи по методу математической индукции! Это как домино: если первая костяшка падает, и каждая следующая задевает следующую, то упадут все. **1. Доказать формулу суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$ методом математической индукции.** * **База индукции:** Проверим формулу для $n = 1$. Тогда $S_1 = a_1$. Подставляем $n = 1$ в формулу: $\frac{(2a_1 + (1-1)d) \cdot 1}{2} = \frac{2a_1}{2} = a_1$. Всё верно! * **Индукционное предположение:** Допустим, что формула верна для некоторого натурального $k$, то есть: $S_k = \frac{(2a_1 + (k-1)d) \cdot k}{2}$. * **Индукционный переход:** Нужно доказать, что формула верна и для $k + 1$, то есть: $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd) \cdot (k+1)}{2}$. Мы знаем, что $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$, где $a_{k+1} = a_1 + kd$. Подставим $S_k$ из индукционного предположения: $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + (k-1)d) \cdot k}{2} + a_1 + kd = \frac{(2a_1 + (k-1)d) \cdot k + 2(a_1 + kd)}{2} = \frac{2a_1k + k^2d - kd + 2a_1 + 2kd}{2} = \frac{2a_1(k+1) + (k^2 + k)d}{2} = \frac{(2a_1 + kd)(k+1)}{2}$. Получили то, что и требовалось доказать! **2. Доказать, что $4^{n+1} + 3^{2n}$ делится на 5 для любого натурального числа $n$.** * **База индукции:** Проверим для $n = 1$. $4^{1+1} + 3^{2 \cdot 1} = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. 25 делится на 5, всё ок. * **Индукционное предположение:** Допустим, что для некоторого $k$ выражение $4^{k+1} + 3^{2k}$ делится на 5, то есть $4^{k+1} + 3^{2k} = 5m$ для некоторого целого $m$. * **Индукционный переход:** Докажем, что $4^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)}$ тоже делится на 5. $4^{k+2} + 3^{2k+2} = 4 \cdot 4^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k} = 4 \cdot 4^{k+1} + 4 \cdot 3^{2k} + 5 \cdot 3^{2k} = 4(4^{k+1} + 3^{2k}) + 5 \cdot 3^{2k} = 4(5m) + 5 \cdot 3^{2k} = 5(4m + 3^{2k})$. Это выражение делится на 5, так как оба слагаемых делятся на 5. **3. Доказать, что для любого натурального числа $n$ справедливо равенство $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{2n + 4}$.** * **База индукции:** Проверим для $n = 1$. $\frac{1}{(1+1)(1+2)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$. Подставляем $n = 1$ в правую часть: $\frac{1}{2 \cdot 1 + 4} = \frac{1}{6}$. Всё верно! * **Индукционное предположение:** Допустим, что для некоторого $k$ равенство верно: $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k}{2k + 4}$. * **Индукционный переход:** Докажем, что равенство верно и для $k + 1$: $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+2)(k+3)} = \frac{k+1}{2(k+1) + 4}$. Используем индукционное предположение: $\frac{k}{2k + 4} + \frac{1}{(k+2)(k+3)} = \frac{k(k+3) + 2}{2(k+2)(k+3)} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2(k+2)(k+3)} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(k+2)(k+3)} = \frac{k+1}{2(k+3)} = \frac{k+1}{2k + 6}$. А это как раз $\frac{k+1}{2(k+1) + 4}$. Получили то, что и требовалось доказать! Всё доказали, ты молодец!