Докажи, что если векторы а и b не коллинеарны, то векторы a + b и a - b не коллинеарны

Привет! Давай решим эти задачки по геометрии вместе. Они про векторы и коллинеарность. Коллинеарные векторы – это те, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. а) Допустим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что существует такое число $k$, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Раскроем скобки и получим: $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$. Перегруппируем члены: $(1-k)\vec{a} = -(1+k)\vec{b}$. Если $k = 1$, то получится, что $\vec{b} = \vec{0}$, но это не так по условию. Если $k = -1$, то $\vec{a} = \vec{0}$, что тоже неверно. Если $k \neq 1$ и $k \neq -1$, то $\vec{a} = \frac{-(1+k)}{1-k} \vec{b}$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны. б) Предположим, что векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда $2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$. Раскроем скобки: $2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$. Сгруппируем члены: $(2-k)\vec{a} = (1+k)\vec{b}$. Если $k = -1$, то $\vec{a} = \vec{0}$, что неверно. Если $k = 2$, то $\vec{b} = \vec{0}$, что тоже неверно. Значит, $\vec{a} = \frac{1+k}{2-k} \vec{b}$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны. в) Предположим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$. Раскроем скобки: $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$. Сгруппируем члены: $(1-k)\vec{a} = (3k-1)\vec{b}$. Если $k = 1$, то $2\vec{b} = \vec{0}$, что неверно. Если $k = \frac{1}{3}$, то $\frac{2}{3} \vec{a} = \vec{0}$, что тоже неверно. Значит, $\vec{a} = \frac{3k-1}{1-k} \vec{b}$, и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны. Вот и все! Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие задачи. Если что, спрашивай ещё!