Определи, коллинеарны ли векторы а + 3b и a, если векторы a и b коллинеарны

Задача 1000. а) Векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{a}$. Это выполняется, если $\vec{b} = \frac{k-1}{3} \vec{a}$. Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (по условию), то такое $k$ существует. б) Векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$ коллинеарны, если существует такое число $m$, что $\vec{b} - 2\vec{a} = m\vec{a}$. Это выполняется, если $\vec{b} = (m+2)\vec{a}$. Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (по условию), то такое $m$ существует. Задача 1001. а) Допустим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$ для некоторого $k$. Из этого следует, что $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$, или $(1-k)\vec{a} = -(1+k)\vec{b}$. То есть, $\vec{a} = -\frac{1+k}{1-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. б) Допустим, что векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда $2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$ для некоторого $k$. Из этого следует, что $2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$, или $(2-k)\vec{a} = (1+k)\vec{b}$. То есть, $\vec{a} = \frac{1+k}{2-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. в) Допустим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$ для некоторого $k$. Из этого следует, что $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$, или $(1-k)\vec{a} = (3k-1)\vec{b}$. То есть, $\vec{a} = \frac{3k-1}{1-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию.