Реши неравенство (x-3)(x+1)/x ≤ 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. У нас есть неравенство $\frac{(x-3)(x+1)}{x} \le 0$. Чтобы решить его, нужно найти значения $x$, при которых выражение равно нулю или меньше нуля. Сначала найдём точки, где выражение равно нулю: это когда числитель равен нулю. Значит, $x-3=0$ или $x+1=0$. Отсюда получаем $x=3$ и $x=-1$. Теперь посмотрим, когда знаменатель равен нулю. Это происходит при $x=0$. Важно помнить, что на ноль делить нельзя, поэтому $x=0$ нужно исключить. Теперь нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки $-1$, $0$ и $3$. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -1]$, $[-1, 0)$, $(0, 3]$ и $[3, +\infty)$. Выберем по одному числу из каждого интервала и проверим знак выражения $\frac{(x-3)(x+1)}{x}$ в каждом из них: 1. Возьмём $x=-2$ из интервала $(-\infty, -1]$. Тогда $\frac{(-2-3)(-2+1)}{-2} = \frac{(-5)(-1)}{-2} = \frac{5}{-2} < 0$. Значит, этот интервал нам подходит. 2. Возьмём $x=-0.5$ из интервала $[-1, 0)$. Тогда $\frac{(-0.5-3)(-0.5+1)}{-0.5} = \frac{(-3.5)(0.5)}{-0.5} > 0$. Этот интервал не подходит. 3. Возьмём $x=1$ из интервала $(0, 3]$. Тогда $\frac{(1-3)(1+1)}{1} = \frac{(-2)(2)}{1} = -4 < 0$. Значит, этот интервал нам подходит. 4. Возьмём $x=4$ из интервала $[3, +\infty)$. Тогда $\frac{(4-3)(4+1)}{4} = \frac{(1)(5)}{4} > 0$. Этот интервал не подходит. Итак, решением неравенства являются интервалы $(-\infty, -1]$ и $(0, 3]$. Не забываем, что $x=0$ нужно исключить, так как на ноль делить нельзя. Точки $-1$ и $3$ включаем, так как неравенство нестрогое ($\le 0$). **Ответ:** $x \in (-\infty; -1] \cup (0; 3]$