Помоги мне вычислить предел, найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии и записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Давай посмотрим на эти задания по порядку. **Задание 17:** 1) $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{4^n} = 0$. Когда $n$ становится очень большим, $4^n$ тоже становится огромным, а значит, дробь $\\frac{1}{4^n}$ стремится к нулю. 2) $\\lim_{n \\to \\infty} (0,2)^n = 0$. Число 0,2 меньше 1. Когда мы возводим число меньше 1 в очень большую степень, результат становится всё меньше и меньше, стремясь к нулю. 3) $\\lim_{n \\to \\infty} (1 + \\frac{1}{7n})^n = 1$. Это похоже на определение числа $e$, но немного изменено. Так как $\\lim_{n \\to \\infty} (1 + \\frac{1}{n})^n = e$, то $\\lim_{n \\to \\infty} (1 + \\frac{1}{7n})^n = 1$. 4) $\\lim_{n \\to \\infty} (\\frac{3}{5})^n - 2 = -2$. Здесь $\\frac{3}{5}$ меньше 1, поэтому $(\\frac{3}{5})^n$ стремится к 0 при больших $n$, и остаётся только -2. **Задание 18:** Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используем формулу: $S = \\frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель. 1) $S = \\frac{1/8}{1 - (-1/2)} = \\frac{1/8}{3/2} = \\frac{1}{8} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{1}{12}$ 2) $S = \\frac{1}{1 - 1/3} = \\frac{1}{2/3} = \\frac{3}{2} = 1,5$ 3) $S = \\frac{9}{1 - (-1/3)} = \\frac{9}{4/3} = 9 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{27}{4} = 6,75$ 4) $S = \\frac{1/81}{1 - (-1/2)} = \\frac{1/81}{3/2} = \\frac{1}{81} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{2}{243}$ **Задание 19:** Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сначала нужно найти знаменатель $q$, а затем использовать формулу $S = \\frac{b_1}{1 - q}$. 1) Дана прогрессия: $6, 1, \\frac{1}{6}, ...$. Здесь $b_1 = 6$, а $q = \\frac{1}{6}$. Тогда $S = \\frac{6}{1 - 1/6} = \\frac{6}{5/6} = 6 \\cdot \\frac{6}{5} = \\frac{36}{5} = 7,2$ 2) Дана прогрессия: $-25, -5, -1, ...$. Здесь $b_1 = -25$, а $q = \\frac{-5}{-25} = \\frac{1}{5}$. Тогда $S = \\frac{-25}{1 - 1/5} = \\frac{-25}{4/5} = -25 \\cdot \\frac{5}{4} = -\\frac{125}{4} = -31,25$ **Задание 20:** Чтобы перевести бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, используем следующий метод: 1) $0,(5) = \\frac{5}{9}$ 2) $0,(8) = \\frac{8}{9}$ Надеюсь, это поможет тебе разобраться!