Найди корни уравнения (1 / (3x + 1)) - (2 / (9x^2 - 1)) = (5x) / (3x^2)

Привет! Давай попробуем упростить это выражение. Исходное выражение: $$\frac{1}{3x+1} - \frac{2}{9x^2-1} = \frac{5x}{3x^2}$$ Сначала разложим знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$$ Теперь перепишем исходное выражение с учетом разложения: $$\frac{1}{3x+1} - \frac{2}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5x}{3x^2}$$ Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю, который равен $(3x-1)(3x+1)$. Домножим первую дробь на $(3x-1)$: $$\frac{3x-1}{(3x-1)(3x+1)} - \frac{2}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5x}{3x^2}$$ Теперь можно сложить дроби в левой части: $$\frac{3x-1-2}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5x}{3x^2}$$ Упростим числитель в левой части: $$\frac{3x-3}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5x}{3x^2}$$ Вынесем 3 за скобки в числителе левой части: $$\frac{3(x-1)}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5x}{3x^2}$$ Сократим правую часть на $x$ (если $x \neq 0$): $$\frac{3(x-1)}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{5}{3x}$$ Теперь избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на $3x(3x-1)(3x+1)$: $$3x \cdot 3(x-1) = 5(3x-1)(3x+1)$$ $$9x(x-1) = 5(9x^2 - 1)$$ Раскроем скобки: $$9x^2 - 9x = 45x^2 - 5$$ Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = 36x^2 + 9x - 5$$ Теперь у нас есть квадратное уравнение $36x^2 + 9x - 5 = 0$. Можно решить его с помощью квадратной формулы: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае $a = 36$, $b = 9$, и $c = -5$. Подставим эти значения в формулу: $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 36 \cdot (-5)}}{2 \cdot 36}$$ $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 720}}{72}$$ $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{801}}{72}$$ $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9 \cdot 89}}{72}$$ $$x = \frac{-9 \pm 3\sqrt{89}}{72}$$ Сократим на 3: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{89}}{24}$$ Итак, у нас два корня: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{89}}{24}$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{89}}{24}$$ **Ответ:** Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{89}}{24}$$, $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{89}}{24}$$