Реши задачу: пассажир проехал 120км и вернулся тем же рейсом, но на 5 км/ч быстрее и на 20 минут быстрее прибыл домой. Найди скорость обоих поездов.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Пусть $v_1$ – скорость поезда туда, а $v_2$ – скорость поезда обратно. Время в пути туда – $t_1$, а время в пути обратно – $t_2$. Нам известно: 1. Расстояние в одну сторону: $S = 120$ км. 2. Скорость обратно больше на 5 км/ч: $v_2 = v_1 + 5$. 3. Время обратно на 20 минут меньше: $t_2 = t_1 - \frac{1}{3}$ (так как 20 минут – это $\frac{1}{3}$ часа). Мы знаем, что время равно расстоянию, деленному на скорость: $t = \frac{S}{v}$. Тогда: $$t_1 = \frac{120}{v_1}$$ $$t_2 = \frac{120}{v_2}$$ Подставим известные значения в уравнение для времени обратно: $$\frac{120}{v_1 + 5} = \frac{120}{v_1} - \frac{1}{3}$$ Теперь решим это уравнение. Для начала избавимся от дроби $\frac{1}{3}$, умножив обе части уравнения на $3v_1(v_1 + 5)$: $$3 \cdot 120 \cdot v_1 = 3 \cdot 120 \cdot (v_1 + 5) - v_1(v_1 + 5)$$ $$360v_1 = 360v_1 + 1800 - v_1^2 - 5v_1$$ Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы получилось квадратное уравнение: $$v_1^2 + 5v_1 - 1800 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225$$ Теперь найдем корни уравнения: $$v_1 = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{-5 \pm 85}{2}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительное значение: $$v_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40$$ Значит, скорость поезда туда: $v_1 = 40$ км/ч. Теперь найдем скорость поезда обратно: $$v_2 = v_1 + 5 = 40 + 5 = 45$$ Значит, скорость поезда обратно: $v_2 = 45$ км/ч. **Ответ:** Скорость поезда туда – 40 км/ч, скорость поезда обратно – 45 км/ч.