Объясни, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения: (√2+√3)(√2-√3)

Конечно, давай разберемся с этими выражениями! Наша задача - понять, какие из них рациональные (то есть можно представить в виде дроби) и какие иррациональные (нельзя представить в виде дроби). Сейчас все посчитаем. а) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ Здесь у нас формула разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Применим её: $$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$$ Получилось целое число -1, а значит, оно рациональное. б) $(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ Тут тоже раскроем скобки: $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6 = -4 + \sqrt{6}$$ Так как $\sqrt{6}$ - иррациональное число, то и всё выражение $-4 + \sqrt{6}$ тоже иррациональное. в) $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{1(2 - \sqrt{3}) + 1(2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$$ Получилось целое число 4, значит, оно рациональное. г) $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ Опять приводим к общему знаменателю: $$\frac{1(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - 1(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$$ Так как $\sqrt{2}$ - иррациональное число, то и $2\sqrt{2}$ тоже иррациональное. д) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$: $$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{3 - 2} = \frac{2 + 2\sqrt{6} + 3}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$$ Так как $\sqrt{6}$ - иррациональное число, то и $5 + 2\sqrt{6}$ тоже иррациональное. е) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{5 + \sqrt{10} + 5 - \sqrt{10}}{5 - 2} = \frac{10}{3}$$ Получилась дробь $\frac{10}{3}$, значит, это число рациональное. Теперь давай подытожим: а) Рациональное (-1) б) Иррациональное ($-4 + \sqrt{6}$) в) Рациональное (4) г) Иррациональное ($2\sqrt{2}$) д) Иррациональное ($5 + 2\sqrt{6}$) е) Рациональное ($\frac{10}{3}$) Вот и всё! Если что-то осталось непонятным, спрашивай!