Мне нужно найти производную функции, заданной формулой: y' = (2x(3-4x) + 4x²) / (3-4x)²

Привет! Давай вместе разберёмся, как найти производную этой функции. У тебя есть функция, которая выглядит как дробь, и нам нужно найти её производную. Вот как это делается: 1. **Вспомним правило**: Если у нас есть функция вида $y = \frac{u}{v}$, то её производная $y'$ находится по формуле: $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$, где $u'$ и $v'$ - это производные функций $u$ и $v$ соответственно. 2. **Определим $u$ и $v$**: В твоём случае, если я правильно вижу, у тебя есть $$y' = \frac{2x(3-4x) + 4x^2}{(3-4x)^2}$$ Здесь можно упростить выражение в числителе: $$2x(3-4x) + 4x^2 = 6x - 8x^2 + 4x^2 = 6x - 4x^2$$ Тогда $$y' = \frac{6x - 4x^2}{(3-4x)^2}$$ Теперь у нас есть функция $y = \frac{u}{v}$, где $u = 6x - 4x^2$ и $v = (3-4x)^2$. 3. **Найдём производные $u'$ и $v'$**: * $u' = (6x - 4x^2)' = 6 - 8x$ * $v' = ((3-4x)^2)'$. Здесь нужно воспользоваться правилом цепочки. Если у нас есть функция $(f(x))^2$, то её производная равна $2 ?(x) ?'(x)$. В нашем случае $f(x) = 3 - 4x$, так что $f'(x) = -4$. Тогда: $v' = 2(3-4x)(-4) = -8(3-4x)$ 4. **Подставим в формулу**: Теперь подставим $u$, $v$, $u'$ и $v'$ в формулу для производной дроби: $$y' = \frac{(6 - 8x)(3-4x)^2 - (6x - 4x^2)(-8(3-4x))}{(3-4x)^4}$$ 5. **Упростим выражение**: Теперь нужно упростить это выражение. Заметим, что $(3-4x)$ есть в обоих слагаемых в числителе, поэтому можно вынести его за скобки: $$y' = \frac{(3-4x)[(6 - 8x)(3-4x) + 8(6x - 4x^2)]}{(3-4x)^4}$$ Сократим $(3-4x)$: $$y' = \frac{(6 - 8x)(3-4x) + 8(6x - 4x^2)}{(3-4x)^3}$$ Раскроем скобки: $$y' = \frac{18 - 24x - 24x + 32x^2 + 48x - 32x^2}{(3-4x)^3}$$ Приведём подобные слагаемые: $$y' = \frac{18}{(3-4x)^3}$$ **Ответ**: Производная функции равна $$y' = \frac{18}{(3-4x)^3}$$