Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15?

1. Взаимно простые числа — это числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. Проверим варианты: a) 12 и 15: оба делятся на 3, значит, не взаимно простые. б) 29 и 34: 29 — простое число. 34 делится только на 1, 2, 17 и 34. Общих делителей, кроме 1, нет. Значит, взаимно простые. в) 25 и 30: оба делятся на 5, значит, не взаимно простые. г) 72 и 73: 73 — простое число. 72 делится на много чисел, но 73 только на 1 и 73. Значит, взаимно простые. **Правильный ответ: б) 29 и 34; г) 72 и 73** 2. Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложенных на простые множители, нужно взять общие множители в наименьшей степени. У тебя даны разложения $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $2 \cdot 7 \cdot 11$. Общие множители: 2 и 7. Берем их в наименьшей степени (здесь они в первой степени). НОД = $2 \cdot 7 = 14$ **Ответ: 14** 3. a) Разложим 34 и 56 на простые множители: 34 = 2 \cdot 17 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = $2^3 \cdot 7$ Общий множитель только 2, значит, НОД = 2. **Ответ: 2** б) Разложим 45 и 65 на простые множители: 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = $3^2 \cdot 5$ 65 = 5 \cdot 13 Общий множитель только 5, значит, НОД = 5. **Ответ: 5** в) Разложим 102 и 204 на простые множители: 102 = 2 \cdot 3 \cdot 17 204 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = $2^2 \cdot 3 \cdot 17$ Общие множители: 2, 3 и 17. Перемножим их: $2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$ НОД = 102. **Ответ: 102** г) Разложим 1005 и 960 на простые множители: 1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67 960 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = $2^6 \cdot 3 \cdot 5$ Общие множители: 3 и 5. Перемножим их: $3 \cdot 5 = 15$ НОД = 15. **Ответ: 15** 4. Разложим числа 1440 и 240 на простые множители: 1440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$ 240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = $2^4 \cdot 3 \cdot 5$ Чтобы узнать, во сколько раз 1440 больше 240, нужно разделить 1440 на 240: $\frac{1440}{240} = 6$ **Ответ: в 6 раз** 5. Дробь $\frac{m}{15}$ правильная, значит, $m$ должно быть меньше 15. Чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми, у них не должно быть общих делителей, кроме 1. Число 15 делится на 1, 3, 5 и 15. Значит, $m$ не должно делиться на 3 и 5. Перечислим все числа меньше 15, которые не делятся на 3 и 5: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. **Ответ: m может быть равно 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.**