Антошка выкопал на огороде пять картошек. Могло ли оказаться так, что он сможет разделить все картошки как на две кучки одинакового веса, так и на три кучки одинакового веса?

1.2.1. Да, могло. Например, если веса картошек 1 кг, 1 кг, 1 кг, 1.5 кг и 1.5 кг. Тогда две кучки по 3 кг и три кучки по 2 кг. 1.2.2. a) Да, можно. 2020 + 2 - 0 + 2 - 0 = 2024; 2024 - 4 = 2020 б) Нет, нельзя. Чтобы из 1000 получить 2021, нужно увеличить число на 1021. За один ход можно увеличить число максимум на 9, поэтому потребуется не менее 1021 / 9 = 113,44 ходов. Но при этом нужно еще и уменьшать число, чтобы получить 2021. Значит, потребуется еще больше ходов. Это невозможно. 1. 2.3. Нет, нельзя. В квадрате 3х3 всего 4 угловых клетки и 5 не угловых. Если в каждой угловой клетке число больше, чем каждое из его соседей, то в угловых клетках должны стоять числа 6, 7, 8 и 9. Но тогда в не угловых клетках не может стоять число, которое меньше, чем каждое из его соседей. 2. 2.4. Да, могут. Например, мама и папа стоят рядом в центре, а дети стоят по обе стороны от них на равном расстоянии. Тогда суммарное расстояние от всех детей до мамы будет равно суммарному расстоянию от всех детей до папы. 3. 2.5. Да, могло. Например, 4 человека подарили по 3 подарка, 3 человека подарили по 4 подарка. Тогда каждый получил по 3 подарка. 4. 2.6. Да, хватит. НОК(2, 3, 4, 5) = 60. Значит, монет хватит, чтобы разделить их поровну и двоим, и троим, и четверым, и пятерым. 60 / 2 + 60 / 3 + 60 / 4 + 60 / 5 = 30 + 20 + 15 + 12 = 77. Значит, нужно минимум 77 кошельков, а у него только 9. 5. 2.7. Да, можно. Например, покрасить все вершины в красный цвет. Тогда все стороны будут одноцветными. 6. 2.8. Нет, не существуют. Если a, b и c попарно различные натуральные числа, то $a^{2023} + b^{2023} + c^{2023}$ не может быть квадратом целого числа. 7. 2.9. Нет, не могло. Если Дима съел х орехов, то Лёша съел 3х орехов, а Гоша съел 6х орехов. Тогда Вася съел 65 - x - 3x - 6x = 65 - 10x орехов. Но Вася съел меньше орехов, чем Гоша, то есть 65 - 10x < 6x. Тогда 65 < 16x, x > 4. Значит, Лёша съел минимум 3 * 5 = 15 орехов, а Гоша съел минимум 6 * 5 = 30 орехов. Тогда Вася съел максимум 65 - 5 - 15 - 30 = 15 орехов. Но Вася съел больше орехов, чем Дима, то есть 15 > x. Значит, x < 15. Тогда Лёша съел максимум 3 * 14 = 42 ореха, а Гоша съел максимум 6 * 14 = 84 ореха. Но Гоша съел максимум 65 орехов, значит, 6 * 14 = 84 - это слишком много. 8. 2.10. Нет, не существует. Если произведение суммы цифр на их количество равно 55, то сумма цифр должна быть равна 5 или 11, а количество цифр должно быть равно 11 или 5. Но если количество цифр равно 5, то сумма цифр не может быть равна 11. А если количество цифр равно 11, то сумма цифр не может быть равна 5. 9. 2.11. Нет, не существует. Если произведение суммы цифр на их количество равно 77, то сумма цифр должна быть равна 7 или 11, а количество цифр должно быть равно 11 или 7. Но если количество цифр равно 7, то сумма цифр не может быть равна 11. А если количество цифр равно 11, то сумма цифр не может быть равна 7.