Вычисли косинус угла между прямыми MN и DD1 в кубе ABCDA1B1C1D1, если точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3:1, а точка N — середина ребра BC.

Недостаточно данных для точного решения. Нужно указать длину ребра куба для решения задачи 466. Допущение: примем длину ребра куба равной $a$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, причём $AM : MA_1 = 3:1$, а точка $N$ — середина ребра $BC$. Вычислим косинус угла между прямыми: a) $MN$ и $DD_1$: $N(\frac{a}{2};a;0)$, $M(0;0;\frac{3a}{4})$ $\vec{MN} = (\frac{a}{2}; a; -\frac{3a}{4})$ $\vec{DD_1} = (0; 0; a)$ $\cos{\angle (MN; DD_1)} = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{-\frac{3a^2}{4}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{9a^2}{16}} \cdot a} = \frac{-\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{4+16+9}{16}}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{29}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{29}} = -\frac{3\sqrt{29}}{29}$ б) $MN$ и $BD$: $N(\frac{a}{2};a;0)$, $M(0;0;\frac{3a}{4})$ $\vec{MN} = (\frac{a}{2}; a; -\frac{3a}{4})$ $\vec{BD} = (-a; a; 0)$ $\cos{\angle (MN; BD)} = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{BD}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{-\frac{a^2}{2} + a^2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{9a^2}{16}} \cdot \sqrt{a^2+a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{29a^2}{16}} \cdot \sqrt{2a^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{29}}{4} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{58}}{4}} = \frac{2}{\sqrt{58}} = \frac{2\sqrt{58}}{58} = \frac{\sqrt{58}}{29}$ в) $MN$ и $B_1D$: $N(\frac{a}{2};a;0)$, $M(0;0;\frac{3a}{4})$ $\vec{MN} = (\frac{a}{2}; a; -\frac{3a}{4})$ $\vec{B_1D} = (-a; a; -a)$ $\cos{\angle (MN; B_1D)} = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{B_1D}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{B_1D}|} = \frac{-\frac{a^2}{2} + a^2 + \frac{3a^2}{4}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{9a^2}{16}} \cdot \sqrt{a^2+a^2+a^2}} = \frac{\frac{5a^2}{4}}{\sqrt{\frac{29a^2}{16}} \cdot \sqrt{3a^2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{29}}{4} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{87}} = \frac{5\sqrt{87}}{87}$ г) $MN$ и $A_1C$: $N(\frac{a}{2};a;0)$, $M(0;0;\frac{3a}{4})$ $\vec{MN} = (\frac{a}{2}; a; -\frac{3a}{4})$ $\vec{A_1C} = (a; a; -a)$ $\cos{\angle (MN; A_1C)} = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{A_1C}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{A_1C}|} = \frac{\frac{a^2}{2} + a^2 + \frac{3a^2}{4}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{9a^2}{16}} \cdot \sqrt{a^2+a^2+a^2}} = \frac{\frac{9a^2}{4}}{\sqrt{\frac{29a^2}{16}} \cdot \sqrt{3a^2}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{\sqrt{29}}{4} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{87}} = \frac{9\sqrt{87}}{87} = \frac{3\sqrt{87}}{29}$ **Ответ:** a) $\cos{\angle (MN; DD_1)} = -\frac{3\sqrt{29}}{29}$ б) $\cos{\angle (MN; BD)} = \frac{\sqrt{58}}{29}$ в) $\cos{\angle (MN; B_1D)} = \frac{5\sqrt{87}}{87}$ г) $\cos{\angle (MN; A_1C)} = \frac{3\sqrt{87}}{29}$