Реши задачу про конкурс чтецов, про кружки, найди значения x по графику функции, вычисли вероятность выпадения одинаковых очков на кубиках, найди тангенс двойного угла и площадь треугольника.

6. Для решения этой задачи нам понадобится теория вероятностей. Всего участников 10, из них 3 из 5 класса. Нам нужно, чтобы первый и последний выступающие были из 5 класса. Сначала посчитаем общее количество вариантов расстановки участников, а затем количество вариантов, где первым и последним будут пятиклассники. Общее количество вариантов расстановки 10 участников - это $10!$ (10 факториал), что означает $10 \times 9 \times 8 \times ... \times 1$. Теперь посчитаем количество вариантов, где первым и последним выступают пятиклассники. У нас 3 пятиклассника. - Выбрать первого пятиклассника можно 3 способами. - Выбрать последнего пятиклассника можно 2 способами (так как один уже выбран). - Оставшиеся 8 мест могут быть заняты любыми из оставшихся 8 участников, и это можно сделать $8!$ способами. Таким образом, количество благоприятных исходов равно $3 \times 2 \times 8!$. Вероятность того, что первым и последним будут пятиклассники, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: $$P = \frac{3 \times 2 \times 8!}{10!} = \frac{3 \times 2}{10 \times 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$ **Ответ: $\frac{1}{15}$** 7. Пусть $M$ - множество учеников, занимающихся математикой, а $P$ - множество учеников, занимающихся программированием. Мы знаем, что: - $|M| = 20$ (количество учеников в кружке по математике) - $|P| = 16$ (количество учеников в кружке по программированию) - $|M \cap P| = 10$ (количество учеников, посещающих оба кружка) Нам нужно найти общее количество учеников, которое можно вычислить по формуле включений-исключений: $$|M \cup P| = |M| + |P| - |M \cap P|$$ Подставляем известные значения: $$|M \cup P| = 20 + 16 - 10 = 26$$ **Ответ: 26** 8. Судя по графику, вершина параболы находится в точке $(1; 1)$. Уравнение параболы имеет вид $f(x) = a(x - 1)^2 + 1$. По графику видно, что при $x = 0$, $f(x) = 4$. Подставим эти значения в уравнение: $$4 = a(0 - 1)^2 + 1$$ $$4 = a + 1$$ $$a = 3$$ Таким образом, уравнение функции: $f(x) = 3(x - 1)^2 + 1$. Теперь найдём значения $x$, при которых $f(x) = 51$: $$51 = 3(x - 1)^2 + 1$$ $$50 = 3(x - 1)^2$$ $$\frac{50}{3} = (x - 1)^2$$ $$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{50}{3}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{6}}{3}$$ $$x = 1 \pm \frac{5\sqrt{6}}{3}$$ **Ответ: $x = 1 \pm \frac{5\sqrt{6}}{3}$** 9. Всего у кубика 6 граней, поэтому при броске двух кубиков может быть $6 \times 6 = 36$ различных исходов. Нам интересны только те случаи, когда сумма выпавших очков не меньше 4 и не больше 10. И при этом, во второй раз выпало столько же очков, сколько и в первый. Это значит, что выпавшие числа на обоих кубиках должны быть одинаковыми. Возможные варианты: - (2, 2) - сумма 4 - (3, 3) - сумма 6 - (4, 4) - сумма 8 - (5, 5) - сумма 10 Всего 4 подходящих варианта из 36 возможных. Вероятность равна $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$. **Ответ: $\frac{1}{9}$** 10. Нам дано, что $\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положительный, а синус отрицательный. Сначала найдем $\sin(\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \times 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$ Так как $\alpha$ в четвертой четверти, то $\sin(\alpha) < 0$, следовательно, $\sin(\alpha) = -\frac{1}{5}$. Теперь найдем $\tg(2\alpha)$, используя формулу двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2\tg(\alpha)}{1 - \tg^2(\alpha)}$. Сначала найдем $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$. Теперь подставим в формулу для $\tg(2\alpha)$: $$\tg(2\alpha) = \frac{2 \times \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} \times \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23}$$ **Ответ: $-\frac{4\sqrt{6}}{23}$** 11. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон $AM$ к $AB$ или $AN$ к $AC$: $$k = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6+8} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$$ Или $$k = \frac{AN}{AC} = \frac{4}{4+12} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ Так как отношения сторон не равны, то данные не соответствуют подобию треугольников. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно уточнить условие задачи. **Допущение:** Треугольники подобны. Тогда $k = \frac{3}{7}$. Площадь треугольника $AMN$ равна 9. Тогда площадь треугольника $ABC$ можно найти, используя отношение площадей подобных треугольников: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2$$ $$\frac{9}{S_{ABC}} = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$$ $$S_{ABC} = \frac{9 \times 49}{9} = 49$$ **Ответ: 49**