Помоги мне, пожалуйста, определить десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа $\frac{5}{13}$, 301-й знак

Конечно, давай решим эти задания вместе! 2. 11 a) Чтобы найти 301-й знак после запятой в десятичной записи числа $\frac{5}{13}$, нужно разделить 5 на 13. Ты получишь десятичную дробь $0,(384615)$. Это значит, что группа цифр "384615" будет повторяться. В этой группе 6 цифр. Чтобы найти 301-й знак, нужно узнать, сколько раз эта группа повторится в первых 301 знаках, и какая цифра будет на последнем месте. Делим 301 на 6: $$301 \div 6 = 50 \text{ (остаток 1)}$$ Это значит, что группа "384615" повторится 50 раз полностью, и ещё одна цифра останется. Так как остаток 1, то это будет первая цифра в группе, то есть 3. *Ответ:* 3 2. 11 б) Чтобы найти 127-й знак после запятой в десятичной записи числа $\frac{3}{26}$, нужно разделить 3 на 26. Ты получишь десятичную дробь $0,1(153846)$. Здесь у нас есть одна цифра перед скобками (1), и 6 цифр в периоде (153846). Нам нужно найти 127-й знак после запятой, значит, нужно учесть, что первая цифра (1) не входит в период. Поэтому мы ищем 126-й знак в периоде. Делим 126 на 6 (количество цифр в периоде): $$126 \div 6 = 21 \text{ (остаток 0)}$$ Это значит, что группа "153846" повторится 21 раз полностью. Так как остаток 0, это значит, что 126-й цифрой будет последняя цифра в группе, то есть 6. *Ответ:* 6 2. 11 в) Чтобы найти 2000-й знак после запятой в десятичной записи числа $\frac{5}{33}$, нужно разделить 5 на 33. Ты получишь десятичную дробь $0,(15)$. Здесь у нас период состоит из двух цифр: 1 и 5. Чтобы найти 2000-й знак, нужно узнать, какая цифра будет на этом месте. Делим 2000 на 2 (количество цифр в периоде): $$2000 \div 2 = 1000 \text{ (остаток 0)}$$ Это значит, что группа "15" повторится 1000 раз полностью. Так как остаток 0, это значит, что 2000-й цифрой будет последняя цифра в группе, то есть 5. *Ответ:* 5 2. 11 г) Чтобы найти 78-й знак после запятой в десятичной записи числа $\frac{5}{14}$, нужно разделить 5 на 14. Ты получишь десятичную дробь $0,3(571428)$. Здесь у нас есть одна цифра перед скобками (3), и 6 цифр в периоде (571428). Нам нужно найти 78-й знак после запятой, значит, нужно учесть, что первая цифра (3) не входит в период. Поэтому мы ищем 77-й знак в периоде. Делим 77 на 6 (количество цифр в периоде): $$77 \div 6 = 12 \text{ (остаток 5)}$$ Это значит, что группа "571428" повторится 12 раз полностью, и ещё 5 цифр останутся. Пятая цифра в группе "571428" это 2. *Ответ:* 2 2. 12 a) Число 0 уже является обыкновенной несократимой дробью, так как его можно представить как $\frac{0}{1}$. *Ответ:* $\frac{0}{1}$ 2. 12 б) Число -123 можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби как $\frac{-123}{1}$. *Ответ:* $\frac{-123}{1}$ 2. 12 в) Число 12,0006 можно представить в виде обыкновенной дроби. Сначала запишем его как $\frac{120006}{10000}$. Теперь нужно сократить эту дробь. Оба числа делятся на 2: $\frac{120006 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{60003}{5000}$. *Ответ:* $\frac{60003}{5000}$ 2. 12 г) Число 0,00123 можно представить в виде обыкновенной дроби. Сначала запишем его как $\frac{123}{100000}$. Теперь нужно проверить, можно ли сократить эту дробь. Число 123 делится на 3 (сумма цифр 1+2+3=6, делится на 3), но 100000 на 3 не делится. *Ответ:* $\frac{123}{100000}$ 2. 13 a) $0,(36)$ это периодическая дробь. Чтобы представить её в виде обыкновенной дроби, обозначим $x = 0,(36)$. Тогда $100x = 36,(36)$. Вычитаем из второго уравнения первое: $$100x - x = 36,(36) - 0,(36)$$ $$99x = 36$$ $$x = \frac{36}{99}$$ Теперь сокращаем дробь на 9: $\frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$. *Ответ:* $\frac{4}{11}$ 2. 13 б) $12,0(06)$ это смешанная периодическая дробь. Её можно представить как $12 + 0,0(06)$. Сначала разберёмся с $0,0(06)$. Обозначим $x = 0,0(06)$. Тогда $10x = 0,(06)$ и $1000x = 6,(06)$. Вычитаем из второго уравнения первое: $$1000x - 10x = 6,(06) - 0,(06)$$ $$990x = 6$$ $$x = \frac{6}{990}$$ Сокращаем дробь на 6: $\frac{6 \div 6}{990 \div 6} = \frac{1}{165}$. Теперь складываем целую часть и дробь: $12 + \frac{1}{165} = \frac{12 \cdot 165}{165} + \frac{1}{165} = \frac{1980 + 1}{165} = \frac{1981}{165}$. *Ответ:* $\frac{1981}{165}$ 2. 13 в) $-1,2(3)$ это смешанная периодическая дробь. Её можно представить как $-1,2 - 0,0(3)$. Сначала разберёмся с $0,0(3)$. Обозначим $x = 0,0(3)$. Тогда $10x = 0,(3)$ и $100x = 3,(3)$. Вычитаем из второго уравнения первое: $$100x - 10x = 3,(3) - 0,(3)$$ $$90x = 3$$ $$x = \frac{3}{90}$$ Сокращаем дробь на 3: $\frac{3 \div 3}{90 \div 3} = \frac{1}{30}$. Теперь складываем все части: $-1,2 - \frac{1}{30} = -\frac{12}{10} - \frac{1}{30} = -\frac{36}{30} - \frac{1}{30} = -\frac{37}{30}$. *Ответ:* $\frac{-37}{30}$ 2. 13 г) $-0,01(234)$ это смешанная периодическая дробь. Её можно представить как $-0,01 - 0,000(234)$. Сначала разберёмся с $0,000(234)$. Обозначим $x = 0,000(234)$. Тогда $1000x = 0,(234)$ и $1000000x = 234,(234)$. Вычитаем из второго уравнения первое: $$1000000x - 1000x = 234,(234) - 0,(234)$$ $$999000x = 234$$ $$x = \frac{234}{999000}$$ Сокращаем дробь на 6: $\frac{234 \div 6}{999000 \div 6} = \frac{39}{166500}$. Теперь складываем все части: $-0,01 - \frac{39}{166500} = -\frac{1}{100} - \frac{39}{166500} = -\frac{1665}{166500} - \frac{39}{166500} = -\frac{1704}{166500}$. Сокращаем дробь на 12: $\frac{-1704 \div 12}{166500 \div 12} = \frac{-142}{13875}$. *Ответ:* $\frac{-142}{13875}$ 2. 14 a) $10,1 = 10,100000... = 10,1(0)$ *Ответ:* $10,1(0)$ 3. 14 б) $-1,2 = -1,200000... = -1,2(0)$ *Ответ:* $-1,2(0)$ 4. 14 в) $4,023 = 4,02300000... = 4,023(0)$ *Ответ:* $4,023(0)$ 5. 14 г) $-0,0101 = -0,010100000... = -0,0101(0)$ *Ответ:* $-0,0101(0)$