Реши задачу 1: В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 108°. Найди угол BCA. Ответ дай в градусах.

Конечно, сейчас помогу! 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Тогда:\ $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$ **Ответ: $36^\circ$** 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA = 28^\circ$. Тогда угол $\angle ABC = 180 - 28 - 28 = 124^\circ$. **Ответ: $124^\circ$** 3. a) В остроугольном равнобедренном треугольнике наибольший угол может быть только при основании. Если угол при основании равен $20^\circ$, то углы при основании равны, а третий угол равен $180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$, но тогда треугольник не остроугольный. Допущение: Значит, угол $20^\circ$ - угол при вершине. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - 20^\circ)/2 = 80^\circ$. **Ответ: $80^\circ$** б) В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов равен $20^\circ$. Если угол при основании равен $20^\circ$, то угол при вершине равен $180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$. Если угол при вершине равен $20^\circ$, то углы при основании равны $(180^\circ - 20^\circ)/2 = 80^\circ$. Так как треугольник тупоугольный, то наибольший угол равен $140^\circ$. **Ответ: $140^\circ$** 4. $ \angle ACB = 70^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, то $\angle BAC = \angle ACB = 70^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$. Так как AM - биссектриса, то $\angle MAC = \angle BAC / 2 = 70^\circ / 2 = 35^\circ$. В треугольнике $\triangle AMC$ найдем угол $\angle AMC = 180^\circ - 70^\circ - 35^\circ = 75^\circ$. $\angle AMB$ и $\angle AMC$ - смежные, значит $\angle AMB = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. **Ответ: $105^\circ$** 5. Внешний угол при вершине A треугольника ABC равен сумме двух других углов, не смежных с ним: $\angle A = \angle B + \angle C$. Так как $AC = BC$, то треугольник $ABC$ – равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Из этого следует, что $\angle A = \angle B$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. $\angle A + \angle A + 110^\circ = 180^\circ$. Отсюда $2 \cdot \angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$, следовательно, $\angle A = 35^\circ$. Внешний угол при вершине A равен $\angle B + \angle C = 35^\circ + 110^\circ = 145^\circ$. **Ответ: $145^\circ$**