Помоги решить задания на упрощение выражений с корнями и степенями, первое задание: упрости выражение ⁵√(a⁶b⁷) : ⁵√(ab²)

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями! Они про упрощение выражений с корнями и степенями. Будем использовать свойства корней и степеней, чтобы упростить каждое выражение. **41** 1. $\sqrt[5]{a^6b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1}b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5b^5} = ab$ 2. $\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} = \sqrt[3]{27x^3} = 3x$ 3. $\frac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \frac{\sqrt[3]{3x}}{y} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \frac{\sqrt[3]{3x}}{y} \cdot \sqrt[3]{\frac{9x^2}{y}} = \frac{\sqrt[3]{3x \cdot 9x^2}}{y\sqrt[3]{y}} = \frac{\sqrt[3]{27x^3}}{y\sqrt[3]{y}} = \frac{3x}{y\sqrt[3]{y}} = \frac{3x\sqrt[3]{y^2}}{y^2}$ 4. $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = \frac{2b}{a}$ **42** 1. $(\sqrt[6]{7^3})^2 = (7^{\frac{3}{6}})^2 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^1 = 7$ 2. $(\sqrt[6]{9})^{-3} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ 3. $(\sqrt[10]{32})^2 = (32^{\frac{1}{10}})^2 = 32^{\frac{2}{10}} = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$ 4. $(\sqrt[8]{16})^{-4} = (16^{\frac{1}{8}})^{-4} = 16^{-\frac{4}{8}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$ **43** 1. $\sqrt[3]{\sqrt{729}} = \sqrt[3]{27} = 3$ 2. $\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[10]{1024} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2$ 3. $\sqrt[9]{\sqrt[3]{3^7}} = \sqrt[27]{3^7} = 3^{\frac{7}{27}}$ 4. $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{5^5}} = \sqrt[12]{25} \cdot \sqrt[12]{5^5} = \sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[12]{5^5} = \sqrt[12]{5^7} = 5^{\frac{7}{12}}$ **44** 1. $(\sqrt[3]{x})^6 = x^{\frac{6}{3}} = x^2$ 2. $(\sqrt[3]{y^2})^3 = y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = y^2$ 3. $(\sqrt{\sqrt[3]{a \cdot b}})^6 = (\sqrt[6]{ab})^6 = ab$ 4. $(\sqrt[4]{a^2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{b^3}})^{12} = (a^{\frac{2}{4}} \cdot b^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}})^{12} = (a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{8}})^{12} = a^{\frac{1}{2} \cdot 12} \cdot b^{\frac{3}{8} \cdot 12} = a^6 \cdot b^{\frac{9}{2}} = a^6b^4\sqrt{b}$ 5. $\sqrt[6]{(\sqrt[3]{a^2b})^6} = \sqrt[3]{a^2b} = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ 6. $(\sqrt[3]{27a^3})^4 = (3a)^4 = 81a^4$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие примеры!