Как решить уравнение $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$?

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением. У нас есть такое выражение: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$ Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить свойства степеней. Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, мы складываем их степени. В нашем случае основание — это $\frac{1}{2}$. Значит, мы можем сложить показатели степеней в левой части уравнения: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x} + (-1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$ Теперь, когда у нас одинаковые основания с обеих сторон, мы можем приравнять показатели степеней: $$\sqrt{1-x} - 1 = 2x$$ Давай перенесём 1 в правую часть: $$\sqrt{1-x} = 2x + 1$$ Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{1-x})^2 = (2x + 1)^2$$ $$1 - x = 4x^2 + 4x + 1$$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$4x^2 + 4x + 1 - 1 + x = 0$$ $$4x^2 + 5x = 0$$ Вынесем x за скобки: $$x(4x + 5) = 0$$ Теперь у нас есть два возможных решения: 1. $x = 0$ 2. $4x + 5 = 0$ => $4x = -5$ => $x = -\frac{5}{4} = -1.25$ Теперь нам нужно проверить оба решения, чтобы убедиться, что они подходят в исходное уравнение, потому что возведение в квадрат иногда добавляет лишние решения. Для этого подставим каждый из них в уравнение $\sqrt{1-x} - 1 = 2x$. Проверка для $x = 0$: $$\sqrt{1-0} - 1 = 2 \cdot 0$$ $$\sqrt{1} - 1 = 0$$ $$1 - 1 = 0$$ $$0 = 0$$ Значит, $x = 0$ — это решение. Проверка для $x = -1.25$: $$\sqrt{1-(-1.25)} - 1 = 2 \cdot (-1.25)$$ $$\sqrt{1+1.25} - 1 = -2.5$$ $$\sqrt{2.25} - 1 = -2.5$$ $$1.5 - 1 = -2.5$$ $$0.5 = -2.5$$ Это неверно, значит, $x = -1.25$ не является решением. **Ответ: $x = 0$**