Реши пример 1.1: 11(4/13) + 12(5/26)

Задание 1.1 Чтобы сложить смешанные числа, нужно сначала сложить целые части, а затем дробные части. Приведем дроби к общему знаменателю: $11 \frac{4}{13} + 12 \frac{5}{26} = 11 \frac{4 \cdot 2}{13 \cdot 2} + 12 \frac{5}{26} = 11 \frac{8}{26} + 12 \frac{5}{26} = (11 + 12) + (\frac{8}{26} + \frac{5}{26}) = 23 + \frac{13}{26} = 23 + \frac{1}{2} = 23 \frac{1}{2}$ **Ответ: $23 \frac{1}{2}$** Задание 1.2 Чтобы вычесть дроби, нужно сначала убедиться, что у них одинаковые знаменатели. Если нет, нужно привести их к общему знаменателю. $18 \frac{7}{26} - 4 \frac{12}{39} = 18 \frac{7}{26} - 4 \frac{12}{39}$. Общий знаменатель для 26 и 39 будет 78. \\ $18 \frac{7 \cdot 3}{26 \cdot 3} - 4 \frac{12 \cdot 2}{39 \cdot 2} = 18 \frac{21}{78} - 4 \frac{24}{78}$. Поскольку дробь $\frac{24}{78}$ больше, чем $\frac{21}{78}$, занимаем единицу у 18: $17 \frac{78 + 21}{78} - 4 \frac{24}{78} = 17 \frac{99}{78} - 4 \frac{24}{78} = (17 - 4) + (\frac{99}{78} - \frac{24}{78}) = 13 + \frac{75}{78} = 13 \frac{75}{78} = 13 \frac{25}{26}$. **Ответ: $13 \frac{25}{26}$** Задание 1.3 $1 \frac{4}{5} + \frac{25}{42} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} + \frac{25}{42} = \frac{9}{5} + \frac{25}{42}$. Общий знаменатель для 5 и 42 будет 210. $\frac{9 \cdot 42}{5 \cdot 42} + \frac{25 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \frac{378}{210} + \frac{125}{210} = \frac{378 + 125}{210} = \frac{503}{210} = 2 \frac{83}{210}$. **Ответ: $2 \frac{83}{210}$** Задание 1.4 $12 \frac{1}{2} : 6 \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} : \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{25}{2} : \frac{20}{3} = \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{20} = \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 20} = \frac{75}{40} = \frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$. **Ответ: $1 \frac{7}{8}$** Задание 2.1 Чтобы сравнить дроби $\frac{17}{20}$ и $\frac{16}{25}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 20 и 25 будет 100. $\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{85}{100}$. $\frac{16}{25} = \frac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{64}{100}$. Так как $\frac{85}{100} > \frac{64}{100}$, то $\frac{17}{20} > \frac{16}{25}$. **Ответ: $\frac{17}{20} > \frac{16}{25}$** Задание 2.2 Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{62}$ и $\frac{1}{26}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 62 и 26 будет 806. $\frac{1}{62} = \frac{1 \cdot 13}{62 \cdot 13} = \frac{13}{806}$. $\frac{1}{26} = \frac{1 \cdot 31}{26 \cdot 31} = \frac{31}{806}$. Так как $\frac{13}{806} < \frac{31}{806}$, то $\frac{1}{62} < \frac{1}{26}$. **Ответ: $\frac{1}{62} < \frac{1}{26}$** Задание 2.3 Чтобы сравнить дроби $\frac{40}{41}$ и $\frac{42}{43}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 41 и 43 будет 1763. $\frac{40}{41} = \frac{40 \cdot 43}{41 \cdot 43} = \frac{1720}{1763}$. $\frac{42}{43} = \frac{42 \cdot 41}{43 \cdot 41} = \frac{1722}{1763}$. Так как $\frac{1720}{1763} < \frac{1722}{1763}$, то $\frac{40}{41} < \frac{42}{43}$. **Ответ: $\frac{40}{41} < \frac{42}{43}$** Задание 2.4 Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{3}$ и $\frac{3}{8}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 8 будет 24. $\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{64}{24}$. $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$. Так как $\frac{64}{24} > \frac{9}{24}$, то $\frac{8}{3} > \frac{3}{8}$. **Ответ: $\frac{8}{3} > \frac{3}{8}$** Задание 3.1 $x \cdot 5 \frac{1}{3} = 12 \frac{3}{5}$. $x \cdot \frac{16}{3} = \frac{63}{5}$. $x = \frac{63}{5} : \frac{16}{3}$. $x = \frac{63}{5} \cdot \frac{3}{16}$. $x = \frac{63 \cdot 3}{5 \cdot 16}$. $x = \frac{189}{80}$. $x = 2 \frac{29}{80}$. **Ответ: $x = 2 \frac{29}{80}$** Задание 3.2 $x - 7 \frac{1}{8} = 12 \frac{3}{5}$. $x = 12 \frac{3}{5} + 7 \frac{1}{8}$. $x = 12 \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + 7 \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5}$. $x = 12 \frac{24}{40} + 7 \frac{5}{40}$. $x = (12 + 7) + (\frac{24}{40} + \frac{5}{40})$. $x = 19 + \frac{29}{40}$. $x = 19 \frac{29}{40}$. **Ответ: $x = 19 \frac{29}{40}$** Задание 4 Чтобы найти, сколько граммов содержится в $\frac{3}{8}$ килограмма, нужно знать, что 1 килограмм = 1000 граммов. Поэтому: $\frac{3}{8} \cdot 1000 = \frac{3000}{8} = 375$. **Ответ: 375 граммов** Задание 5 Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сложить все его стороны. Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$, где $a$ - длина, $b$ - ширина. $a = 24 \frac{1}{3} = \frac{24 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{73}{3}$ см. $b = 7 \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{43}{6}$ см. $P = 2(\frac{73}{3} + \frac{43}{6}) = 2(\frac{73 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{43}{6}) = 2(\frac{146}{6} + \frac{43}{6}) = 2(\frac{146 + 43}{6}) = 2(\frac{189}{6}) = \frac{2 \cdot 189}{6} = \frac{378}{6} = 63$. **Ответ: 63 см** Задание 6 Пусть $x$ - это общее количество деталей. Тогда: В первый день токарь сделал $\frac{5}{8}x$ деталей. Во второй день токарь сделал $\frac{1}{6}x$ деталей. В третий день токарь сделал 20 деталей. Вместе они сделали $x$ деталей, значит, $\frac{5}{8}x + \frac{1}{6}x + 20 = x$. Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей, умножив все члены на 24 (общий знаменатель 8 и 6): $24(\frac{5}{8}x + \frac{1}{6}x + 20) = 24x$. $15x + 4x + 480 = 24x$. $19x + 480 = 24x$. $480 = 24x - 19x$. $480 = 5x$. $x = \frac{480}{5} = 96$. Теперь найдем, сколько деталей токарь выточил во второй день: $\frac{1}{6}x = \frac{1}{6} \cdot 96 = 16$. **Ответ: 16 деталей** Задание 7 $3 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \cdot (2 \frac{3}{4} : 2 + \frac{3}{4})$. Сначала выполним действия в скобках: $2 \frac{3}{4} : 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} : 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{11}{8} + \frac{3}{4} = \frac{11}{8} + \frac{6}{8} = \frac{17}{8}$. Теперь выполним умножение: $1 \frac{1}{3} \cdot \frac{17}{8} = \frac{4}{3} \cdot \frac{17}{8} = \frac{4 \cdot 17}{3 \cdot 8} = \frac{68}{24} = \frac{17}{6}$. Теперь выполним вычитание: $3 \frac{1}{3} - \frac{17}{6} = \frac{10}{3} - \frac{17}{6} = \frac{20}{6} - \frac{17}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **Ответ: $\frac{1}{2}$** Задание 8 Пусть первая бригада выполняет $\frac{1}{54}$ часть работы в день, а вторая бригада выполняет $\frac{1}{27}$ часть работы в день. Вместе они выполняют $\frac{1}{54} + \frac{1}{27}$ часть работы в день. Найдем, сколько это: $\frac{1}{54} + \frac{1}{27} = \frac{1}{54} + \frac{2}{54} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}$. Значит, вместе они выполняют $\frac{1}{18}$ часть работы в день. Чтобы найти, за сколько дней они выполнят всю работу вместе, нужно взять обратное число: 18. **Ответ: 18 дней** Задание 9 Путь по течению реки: $S_1 = (v_{катера} + v_{течения}) \cdot t_1 = (16 + 2) \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54$ км. Путь по озеру: $S_2 = v_{катера} \cdot t_2 = 16 \cdot 6 = 96$ км. Общий путь: $S = S_1 + S_2 = 54 + 96 = 150$ км. **Ответ: 150 км**