Реши уравнение sin 2x = cos 3x

Question

Вопрос:

Реши уравнение sin 2x = cos 3x

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы решить уравнение $\sin 2x = \cos 3x$, нам нужно привести обе части к одной тригонометрической функции. Вспомним формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$. Тогда можем переписать уравнение как: $$\sin 2x = \cos 3x = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$$ Теперь у нас есть равенство синусов: $$\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$$ Это равенство выполняется, когда аргументы синусов либо равны, либо их сумма равна $\pi$ с точностью до $2\pi k$, где $k$ — целое число. Получаем два случая: 1) $2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$ $5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}$ 2) $2x + \frac{\pi}{2} - 3x = \pi + 2\pi k$ $-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n = -k$ (просто замена переменной, чтобы не было минуса). **Ответ:** $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$

Реши уравнение sin 2x = cos 3x

Ответ ассистента

Другие решения