Реши задачи по геометрии: Найди скалярное произведение векторов, длину вектора и скалярное произведение с графиками

Задача №2.1 Чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{a}(5; -7)$ и $\vec{b}(14; 1)$, нужно умножить их соответствующие координаты и сложить результаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 14 + (-7) \cdot 1 = 70 - 7 = 63$ **Ответ: 63** Задача №2.2 Чтобы найти длину вектора $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$, сначала найдем координаты этого вектора. Даны векторы $\vec{a}(3; 3)$, $\vec{b}(9; 8)$ и $\vec{c}(13; 29)$. 1. Вычисляем $\vec{a} - \vec{b} = (3 - 9; 3 - 8) = (-6; -5)$. 2. Затем прибавляем вектор $\vec{c}$: $(-6 + 13; -5 + 29) = (7; 24)$. 3. Теперь найдем длину вектора $(7; 24)$. Длина вектора вычисляется по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$, где $x$ и $y$ - координаты вектора. $\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ **Ответ: 25** Задача №2.3 Чтобы найти скалярное произведение векторов $2\vec{a} + \vec{b}$ и $5\vec{a} - \vec{b}$, сначала найдем координаты этих векторов. Даны векторы $\vec{a}(2; 1)$ и $\vec{b}(1; -3)$. 1. Вычисляем $2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (4; 2)$. 2. Суммируем $2\vec{a} + \vec{b} = (4 + 1; 2 + (-3)) = (5; -1)$. 3. Вычисляем $5\vec{a} = (5 \cdot 2; 5 \cdot 1) = (10; 5)$. 4. Вычисляем $5\vec{a} - \vec{b} = (10 - 1; 5 - (-3)) = (9; 8)$. 5. Теперь найдем скалярное произведение векторов $(5; -1)$ и $(9; 8)$: $(5 \cdot 9) + (-1 \cdot 8) = 45 - 8 = 37$ **Ответ: 37** Задача №2.1 Чтобы найти длину вектора $5\vec{b} - \vec{a}$, определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из графика. $\vec{a} = (2; 2)$; $\vec{b} = (3; 5)$. Теперь найдем координаты вектора $5\vec{b} - \vec{a}$. 1. $5\vec{b} = (5 \cdot 3; 5 \cdot 5) = (15; 25)$. 2. $5\vec{b} - \vec{a} = (15 - 2; 25 - 2) = (13; 23)$. Длина вектора $5\vec{b} - \vec{a}$ равна: $\sqrt{13^2 + 23^2} = \sqrt{169 + 529} = \sqrt{698} \approx 26,42$ **Ответ: $\sqrt{698}$ или примерно 26,42** Задача №2.2 Чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $(\vec{b} + \vec{c})$, определим координаты векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ из графика. $\vec{a} = (1; 1)$; $\vec{b} = (0; -1)$; $\vec{c} = (5; 0)$. Теперь найдем координаты вектора $\vec{b} + \vec{c}$. $\vec{b} + \vec{c} = (0 + 5; -1 + 0) = (5; -1)$. Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $(\vec{b} + \vec{c})$: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (1 \cdot 5) + (1 \cdot -1) = 5 - 1 = 4$. **Ответ: 4**