Реши задачу про центральный угол AOB равный 60 градусов и найди длину хорды AB

16. Центральный угол $AOB$ равен $60^\circ$. Нужно найти длину хорды $AB$, если радиус окружности равен 5. Раз угол $AOB = 60^\circ$, а стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу, значит треугольник $AOB$ равнобедренный. Тогда углы при основании $AB$ тоже равны. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому: $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ $$120^\circ / 2 = 60^\circ$$ Получается, что все углы в треугольнике $AOB$ равны $60^\circ$, значит, это равносторонний треугольник. А это значит, что длина хорды $AB$ равна радиусу. **Ответ: 5** 17. В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 3$, а её площадь равна 27. Нужно найти площадь треугольника $ABC$. Площадь трапеции можно найти как полусумму оснований, умноженную на высоту ($h$). То есть: $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} * h$$ Подставим известные значения: $$27 = \frac{6 + 3}{2} * h$$ $$27 = \frac{9}{2} * h$$ Теперь найдём высоту: $$h = \frac{27 * 2}{9} = 6$$ Треугольник $ABC$ имеет основание $BC$ и ту же высоту $h$, что и трапеция. Площадь треугольника находится как половина произведения основания на высоту: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * BC * h$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * 3 * 6 = 9$$ **Ответ: 9** 18. Нужно найти расстояние от точки $A$ до середины отрезка $BC$ на клетчатой бумаге. Сначала найдём координаты точек. По рисунку: $A(1;5)$, $B(5;4)$, $C(2;1)$. Теперь найдём координаты середины отрезка $BC$. Обозначим её $M$. Координаты середины находятся как среднее арифметическое координат концов отрезка: $$M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{5 + 2}{2} = 3,5$$ $$M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{4 + 1}{2} = 2,5$$ Итак, $M(3,5;2,5)$. Теперь найдём расстояние между точками $A$ и $M$. Используем формулу расстояния между двумя точками: $$AM = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2}$$ $$AM = \sqrt{(3,5 - 1)^2 + (2,5 - 5)^2}$$ $$AM = \sqrt{(2,5)^2 + (-2,5)^2}$$ $$AM = \sqrt{6,25 + 6,25} = \sqrt{12,5} = 3,54$$ **Ответ: 3,54 см** 19. Нужно выбрать верные утверждения о ромбах и равносторонних треугольниках. 1) Все углы ромба равны. Это неверно, потому что только у квадрата (который тоже ромб) все углы равны. 2) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. Это верно, так как у квадрата все стороны равны, и площадь равна $a * a = a^2$. 3) Любые два равносторонних треугольника подобны. Это верно, потому что у всех равносторонних треугольников углы равны $60^\circ$, а значит, они подобны. **Ответ: 23** 20. Решаем уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$. Чтобы решить это уравнение, можно сделать замену. Пусть $y = \frac{1}{x-2}$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - y - 6 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$ Теперь вернёмся к замене и найдём $x$: 1) $\frac{1}{x-2} = 3$ $1 = 3(x - 2)$ $1 = 3x - 6$ $3x = 7$ $x_1 = \frac{7}{3}$ 2) $\frac{1}{x-2} = -2$ $1 = -2(x - 2)$ $1 = -2x + 4$ $2x = 3$ $x_2 = \frac{3}{2}$ **Ответ: $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$** 21. Здесь нужно определить, с каким счетом закончился хоккейный матч, если четыре утверждения истинны, а одно ложно. 1) Выиграл "Транспортир". 2) Всего в матче было заброшено менее 10 шайб. 3) Матч закончился вничью. 4) Всего в матче было заброшено более 8 шайб. 5) "Линейка" забросила более 3 шайб. Если предположить, что матч закончился вничью (утверждение 3), то утверждение 1 (выиграл "Транспортир") ложно. Тогда истинными должны быть утверждения 2, 4 и 5. Но утверждения 2 и 4 противоречат друг другу (меньше 10 и больше 8 одновременно). Значит, ничья невозможна. Предположим, что утверждение 5 ложно (т.е. Линейка забросила 3 или меньше шайб). Тогда верны утверждения 1, 2, 3, 4. Но утверждение 3 ложно (ничья невозможна). Значит, это предположение неверно. Значит, ложным является утверждение 2 или 4. Они противоречат друг другу, следовательно, одно из них ложно. Тогда верны утверждения 1, 3 и 5. Т.е. выиграл Транспортир, Линейка забросила больше 3 шайб, но в условии только 5 утверждений, и 3 утверждение (ничья) тоже должно быть ложным. Итого верны 1 и 5. Тогда ложные утверждения: 2,3,4. Значит всего заброшено 9 шайб. Линейка забросила 4 шайбы, а Транспортир - 5. **Ответ: Транспортир выиграл со счетом 5:4** 22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 + 2x + 1, & \text{если } x \geq -2 \\ x + 3, & \text{если } x < -2 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Сначала рассмотрим функцию $y = x^2 + 2x + 1$ при $x \geq -2$. Это парабола, которую можно упростить до $y = (x + 1)^2$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Теперь рассмотрим функцию $y = x + 3$ при $x < -2$. Это прямая линия. Когда $x$ приближается к $-2$, значение $y$ приближается к $1$. То есть, при $x = -2$, $y = -2 + 3 = 1$. Чтобы прямая $y = m$ имела с графиком ровно две общие точки, нужно, чтобы она пересекала обе части графика. Это произойдет, когда: 1) $m = 1$. В этом случае прямая $y = 1$ касается параболы в точке $(-2, 1)$ и проходит через точку $(-2, 1)$ на прямой $y = x + 3$. 2) $m > 1$ и $m \neq 0$. В этом случае прямая $y = m$ пересекает параболу в двух точках, но не пересекает прямую $y = x + 3$. 3) $m = 0$. В этом случае прямая $y = 0$ (ось x) касается параболы в её вершине $(-1, 0)$. **Ответ: $m = 0$ и $m \ge 1$**