Привет! Давай решим эти неравенства методом интервалов. Это как игра в нахождение нужной территории на числовой прямой!
1) $(x+5)(x+2)>0$
* Находим нули: $x = -5$ и $x = -2$.
* Отмечаем их на числовой прямой. Получаем три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, -2)$ и $(-2, +\infty)$.
* Проверяем знак на каждом интервале. Например, берём $x = -6$ из первого интервала: $(-6+5)(-6+2) = (-1)(-4) = 4 > 0$. Значит, этот интервал нам подходит!
* Берём $x = -3$ из второго интервала: $(-3+5)(-3+2) = (2)(-1) = -2 < 0$. Этот интервал не подходит.
* Берём $x = 0$ из третьего интервала: $(0+5)(0+2) = (5)(2) = 10 > 0$. Этот интервал тоже подходит!
* **Ответ:** $x \in (-\infty, -5) \cup (-2, +\infty)$.
2) $(x+1)(x-4) \le 0$
* Находим нули: $x = -1$ и $x = 4$.
* Отмечаем их на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 4)$ и $(4, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -2$: $(-2+1)(-2-4) = (-1)(-6) = 6 > 0$. Не подходит.
* Берём $x = 0$: $(0+1)(0-4) = (1)(-4) = -4 < 0$. Подходит!
* Берём $x = 5$: $(5+1)(5-4) = (6)(1) = 6 > 0$. Не подходит.
* Так как неравенство нестрогое, включаем концы.
* **Ответ:** $x \in [-1, 4]$.
3) $\frac{x-7}{x+8} \le 0$
* Находим нули: $x = 7$. И точку разрыва: $x = -8$.
* Отмечаем на прямой. Интервалы: $(-\infty, -8)$, $(-8, 7)$ и $(7, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -9$: $\frac{-9-7}{-9+8} = \frac{-16}{-1} = 16 > 0$. Не подходит.
* Берём $x = 0$: $\frac{0-7}{0+8} = \frac{-7}{8} < 0$. Подходит!
* Берём $x = 8$: $\frac{8-7}{8+8} = \frac{1}{16} > 0$. Не подходит.
* Точка $x = 7$ включается, $x = -8$ – нет (знаменатель не может быть нулём).
* **Ответ:** $x \in (-8, 7]$.
4) $\frac{x+6}{x-10} \ge 0$
* Находим нули: $x = -6$. И точку разрыва: $x = 10$.
* Интервалы: $(-\infty, -6)$, $(-6, 10)$ и $(10, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -7$: $\frac{-7+6}{-7-10} = \frac{-1}{-17} > 0$. Подходит!
* Берём $x = 0$: $\frac{0+6}{0-10} = \frac{6}{-10} < 0$. Не подходит.
* Берём $x = 11$: $\frac{11+6}{11-10} = \frac{17}{1} > 0$. Подходит!
* Точка $x = -6$ включается, $x = 10$ – нет.
* **Ответ:** $x \in (-\infty, -6] \cup (10, +\infty)$.
5) $(x-1)x(x+3) \le 0$
* Находим нули: $x = 1$, $x = 0$ и $x = -3$.
* Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -4$: $(-4-1)(-4)(-4+3) = (-5)(-4)(-1) < 0$. Подходит!
* Берём $x = -1$: $(-1-1)(-1)(-1+3) = (-2)(-1)(2) > 0$. Не подходит.
* Берём $x = 0.5$: $(0.5-1)(0.5)(0.5+3) = (-0.5)(0.5)(3.5) < 0$. Подходит!
* Берём $x = 2$: $(2-1)(2)(2+3) = (1)(2)(5) > 0$. Не подходит.
* Все точки включаются.
* **Ответ:** $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 1]$.
6) $x(x+2)(x-3) > 0$
* Находим нули: $x = 0$, $x = -2$ и $x = 3$.
* Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -3$: $(-3)(-3+2)(-3-3) = (-3)(-1)(-6) < 0$. Не подходит.
* Берём $x = -1$: $(-1)(-1+2)(-1-3) = (-1)(1)(-4) > 0$. Подходит!
* Берём $x = 1$: $(1)(1+2)(1-3) = (1)(3)(-2) < 0$. Не подходит.
* Берём $x = 4$: $(4)(4+2)(4-3) = (4)(6)(1) > 0$. Подходит!
* **Ответ:** $x \in (-2, 0) \cup (3, +\infty)$.
7) $\frac{2x^2-x}{x+1} > 0$
* Преобразуем: $\frac{x(2x-1)}{x+1} > 0$.
* Находим нули: $x = 0$ и $x = 0.5$. И точку разрыва: $x = -1$.
* Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 0.5)$ и $(0.5, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -2$: $\frac{(-2)(2(-2)-1)}{-2+1} = \frac{(-2)(-5)}{-1} < 0$. Не подходит.
* Берём $x = -0.5$: $\frac{(-0.5)(2(-0.5)-1)}{-0.5+1} = \frac{(-0.5)(-2)}{0.5} > 0$. Подходит!
* Берём $x = 0.25$: $\frac{(0.25)(2(0.25)-1)}{0.25+1} = \frac{(0.25)(-0.5)}{1.25} < 0$. Не подходит.
* Берём $x = 1$: $\frac{(1)(2(1)-1)}{1+1} = \frac{(1)(1)}{2} > 0$. Подходит!
* **Ответ:** $x \in (-1, 0) \cup (0.5, +\infty)$.
8) $\frac{3x^2+x}{x-2} \le 0$
* Преобразуем: $\frac{x(3x+1)}{x-2} \le 0$.
* Находим нули: $x = 0$ и $x = -\frac{1}{3}$. И точку разрыва: $x = 2$.
* Интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{3})$, $(- \frac{1}{3}, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
* Проверяем знаки. Берём $x = -1$: $\frac{(-1)(3(-1)+1)}{-1-2} = \frac{(-1)(-2)}{-3} < 0$. Подходит!
* Берём $x = -\frac{1}{6}$: $\frac{(-\frac{1}{6})(3(-\frac{1}{6})+1)}{-\frac{1}{6}-2} = \frac{(-\frac{1}{6})(\frac{1}{2})}{-\frac{13}{6}} > 0$. Не подходит.
* Берём $x = 1$: $\frac{(1)(3(1)+1)}{1-2} = \frac{(1)(4)}{-1} < 0$. Подходит!
* Берём $x = 3$: $\frac{(3)(3(3)+1)}{3-2} = \frac{(3)(10)}{1} > 0$. Не подходит.
* Точки $x = 0$ и $x = -\frac{1}{3}$ включаются, $x = 2$ – нет.
* **Ответ:** $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup [0, 2)$.
