Можешь ли ты решить задачи по комбинаторике: 166 а), 167 а), 168 а), 169 а)?

Привет! Давай разберём эти задачки по комбинаторике. **Задача 166** Чтобы сравнить числа $C_5^2$ и $C_5^3$, нужно вспомнить формулу для вычисления сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ (читается как "эн факториал") - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Теперь посчитаем: a) $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ Значит, $C_5^2 = C_5^3$. б) $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ $C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ Значит, $C_7^2 = C_7^5$. в) $C_{21}^1 = 21$ (потому что $C_n^1$ всегда равно $n$) $C_{21}^{20} = \frac{21!}{20!(21-20)!} = \frac{21!}{20!1!} = 21$ Значит, $C_{21}^1 = C_{21}^{20}$. г) $C_{12}^5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$ $C_{12}^7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$ Значит, $C_{12}^5 = C_{12}^7$. **Задача 167** Здесь нужно просто вычислить значения выражений, используя ту же формулу. a) $C_4^0 = 1$ (потому что $C_n^0$ всегда равно 1) б) $C_5^5 = 1$ (потому что $C_n^n$ всегда равно 1) в) $C_{23}^0 = 1$ г) $C_{34}^{34} = 1$ д) $C_{302}^0 = 1$ e) $C_{101}^{101} = 1$ **Задача 168** Если у тебя есть: a) 50 предметов и нужно выбрать только один, то у тебя есть 50 способов это сделать. б) 67 предметов и нужно выбрать только один, то у тебя есть 67 способов это сделать. **Задача 169** В этой задаче нужно понять, что выбор $k$ предметов из $n$ - это то же самое, что не выбрать $(n-k)$ предметов. a) Выбрать 49 предметов из 50 - это то же самое, что не выбрать 1 предмет из 50. То есть, у тебя есть 50 способов это сделать. б) Выбрать 64 предмета из 65 - это то же самое, что не выбрать 1 предмет из 65. То есть, у тебя есть 65 способов это сделать.