Реши уравнение sin x cos x - 5 sin²x=-3 и найди его корни, принадлежащие интервалу (-π/2; π)

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе. Уравнение выглядит так: $\sin x \cos x - 5 \sin^2 x = -3$. Нам нужно найти корни этого уравнения, которые лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$. 1. Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $\sin x \cos x - 5 \sin^2 x = -3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $\sin x \cos x - 5 \sin^2 x = -3\sin^2 x - 3\cos^2 x$ $\sin x \cos x - 2 \sin^2 x + 3\cos^2 x = 0$ 2. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (предполагая, что $\cos x \neq 0$): $\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$ $\tan x - 2 \tan^2 x + 3 = 0$ $2 \tan^2 x - \tan x - 3 = 0$ 3. Решим квадратное уравнение относительно $\tan x$. Пусть $t = \tan x$, тогда уравнение примет вид: $2t^2 - t - 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$ Найдем корни: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ 4. Найдем значения $x$: a) $\tan x = \frac{3}{2}$ $x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k$ - целое число. Поскольку $x$ должен принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$, найдем подходящие значения $k$: При $k = 0$: $x = \arctan(\frac{3}{2}) \approx 0.98$ (радиан) - подходит При $k = -1$: $x = \arctan(\frac{3}{2}) - \pi \approx 0.98 - 3.14 = -2.16$ (радиан) - не подходит, так как меньше $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ б) $\tan x = -1$ $x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - целое число. При $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.79$ (радиан) - подходит При $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36$ (радиан) - подходит 5. Проверим, не потеряли ли мы корни при делении на $\cos^2 x$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Подставим в исходное уравнение: $\sin(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) - 5 \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \neq -3$ Значит, $\cos x \neq 0$. **Ответ:** Корни уравнения в заданном интервале: $x = \arctan(\frac{3}{2})$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$.