Реши уравнения 4 и 5 из изображения

Задание 4. Чтобы решить уравнение $\frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2 - 4}$, нужно сначала упростить его. Заметим, что $x^2 - 4$ можно разложить как $(x-2)(x+2)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3(x+2)^2 - 5(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)}$ Упростим числитель в левой части: $3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = -2x^2 + 32x - 8$ Теперь уравнение выглядит так: $\frac{-2x^2 + 32x - 8}{(x-2)^2(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)}$ Умножим обе части на $(x-2)^2(x+2)^2$, чтобы избавиться от знаменателей: $-2x^2 + 32x - 8 = 14(x-2)(x+2)$ $-2x^2 + 32x - 8 = 14(x^2 - 4)$ $-2x^2 + 32x - 8 = 14x^2 - 56$ Перенесем все в одну сторону: $16x^2 - 32x - 48 = 0$ Разделим на 16: $x^2 - 2x - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$ $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Теперь нужно проверить, не являются ли корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль. В исходном уравнении знаменатели $(x-2)^2$, $(x+2)^2$ и $x^2 - 4$. Значит, $x$ не должен быть равен 2 и -2. Наши корни 3 и -1 не равны 2 и -2, поэтому они подходят. **Ответ: x = 3, x = -1** Задание 5. Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 2x - 3} \le 0$, нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$ Знаменатель: $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ Теперь неравенство выглядит так: $\frac{(x+4)(x-2)}{(x-3)(x+1)} \le 0$ Найдем точки, где числитель или знаменатель равны нулю: $x = -4, x = 2, x = 3, x = -1$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале. Интервалы: $(-\infty, -4]$, $[-4, -1)$, $(-1, 2]$, $[2, 3)$, $(3, +\infty)$ 1. $(-\infty, -4]$: выберем $x = -5$. $\frac{(-5+4)(-5-2)}{(-5-3)(-5+1)} = \frac{(-1)(-7)}{(-8)(-4)} = \frac{7}{32} > 0$ 2. $[-4, -1)$: выберем $x = -2$. $\frac{(-2+4)(-2-2)}{(-2-3)(-2+1)} = \frac{(2)(-4)}{(-5)(-1)} = \frac{-8}{5} < 0$ 3. $(-1, 2]$: выберем $x = 0$. $\frac{(0+4)(0-2)}{(0-3)(0+1)} = \frac{(4)(-2)}{(-3)(1)} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} > 0$ 4. $[2, 3)$: выберем $x = 2.5$. $\frac{(2.5+4)(2.5-2)}{(2.5-3)(2.5+1)} = \frac{(6.5)(0.5)}{(-0.5)(3.5)} = \frac{3.25}{-1.75} < 0$ 5. $(3, +\infty)$: выберем $x = 4$. $\frac{(4+4)(4-2)}{(4-3)(4+1)} = \frac{(8)(2)}{(1)(5)} = \frac{16}{5} > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-4, -1)$ и $[2, 3)$. Точки $x = -1$ и $x = 3$ не включаются, потому что в этих точках знаменатель равен нулю, а делить на ноль нельзя. **Ответ: x ∈ [-4; -1) ∪ [2; 3)**