Реши задачи на смежные и вертикальные углы на изображениях.

Решаю задачи на смежные и вертикальные углы. **Смежные углы** №1 Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. **Ответ: $\angle CBD = 70^\circ$** №2 $\angle ABD = 180^\circ - \angle CBD = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$. **Ответ: $\angle ABD = 52^\circ$** №3 $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$. Подставим $\angle ABD = \angle CBD + 22^\circ$ в первое уравнение: $$\angle CBD + 22^\circ + \angle CBD = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle CBD = 158^\circ$$ $$\angle CBD = 79^\circ$$ $$\angle ABD = 79^\circ + 22^\circ = 101^\circ$$ **Ответ: $\angle CBD = 79^\circ$, $\angle ABD = 101^\circ$** №4 **Допущение:** $\angle CBD$ в 3 раза больше $\angle ABD$, то есть $\angle CBD = 3 \cdot \angle ABD$. $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$. Подставим $\angle CBD = 3 \cdot \angle ABD$: $$\angle ABD + 3 \cdot \angle ABD = 180^\circ$$ $$4 \cdot \angle ABD = 180^\circ$$ $$\angle ABD = 45^\circ$$ $$\angle CBD = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$$ **Ответ: $\angle ABD = 45^\circ$, $\angle CBD = 135^\circ$** №5 **Допущение:** $\angle CBD$ в 2 раза меньше $\angle ABD$, то есть $\angle ABD = 2 \cdot \angle CBD$. $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$. Подставим $\angle ABD = 2 \cdot \angle CBD$: $$2 \cdot \angle CBD + \angle CBD = 180^\circ$$ $$3 \cdot \angle CBD = 180^\circ$$ $$\angle CBD = 60^\circ$$ $$\angle ABD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$ **Ответ: $\angle ABD = 120^\circ$, $\angle CBD = 60^\circ$** №6 **Допущение:** $\angle CBD$ на $14^\circ$ меньше $\angle ABD$, то есть $\angle CBD = \angle ABD - 14^\circ$. $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$. Подставим $\angle CBD = \angle ABD - 14^\circ$: $$\angle ABD + \angle ABD - 14^\circ = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle ABD = 194^\circ$$ $$\angle ABD = 97^\circ$$ $$\angle CBD = 97^\circ - 14^\circ = 83^\circ$$ **Ответ: $\angle ABD = 97^\circ$, $\angle CBD = 83^\circ$** №7 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ 2\alpha + \beta = 210^\circ \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим в другое уравнение: $$2\alpha + 180^\circ - \alpha = 210^\circ$$ $$\alpha = 30^\circ$$ $$\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$ **Ответ: $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 150^\circ$** №8 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ 3\alpha - 2\beta = 60^\circ \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим в другое уравнение: $$3\alpha - 2(180^\circ - \alpha) = 60^\circ$$ $$3\alpha - 360^\circ + 2\alpha = 60^\circ$$ $$5\alpha = 420^\circ$$ $$\alpha = 84^\circ$$ $$\beta = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$$ **Ответ: $\alpha = 84^\circ$, $\beta = 96^\circ$** №9 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ 2\alpha + 3\beta = 370^\circ \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\alpha = 180^\circ - \beta$. Подставим в другое уравнение: $$2(180^\circ - \beta) + 3\beta = 370^\circ$$ $$360^\circ - 2\beta + 3\beta = 370^\circ$$ $$\beta = 10^\circ$$ $$\alpha = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$$ **Ответ: $\alpha = 170^\circ$, $\beta = 10^\circ$** **Вертикальные углы** №1 $\angle ABD = \angle CBE = 115^\circ$ как вертикальные. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные, значит, $\angle CBD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. $\angle ABE = \angle CBD = 65^\circ$ как вертикальные. **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 65^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 115^\circ$** №2 $\angle ABD = \angle CBE = 84^\circ$ как вертикальные. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные, значит, $\angle CBD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. $\angle ABE = \angle CBD = 96^\circ$ как вертикальные. **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 96^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 84^\circ$** №3 $\angle ABD = \angle CBE$. $\angle ABD = \angle CBD - 4^\circ$. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные. Подставим $\angle ABD = \angle CBD - 4^\circ$: $$\angle CBD + \angle CBD - 4^\circ = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle CBD = 184^\circ$$ $$\angle CBD = 92^\circ$$ $$\angle ABD = 92^\circ - 4^\circ = 88^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 92^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 88^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 92^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 88^\circ$** №4 **Допущение:** $\angle CBD$ в 5 раз больше $\angle ABD$, то есть $\angle CBD = 5 \cdot \angle ABD$. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные. Подставим $\angle CBD = 5 \cdot \angle ABD$: $$5 \cdot \angle ABD + \angle ABD = 180^\circ$$ $$6 \cdot \angle ABD = 180^\circ$$ $$\angle ABD = 30^\circ$$ $$\angle CBD = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 150^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 30^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 150^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 30^\circ$** №5 **Допущение:** $\angle CBD$ в $\frac{1}{2}$ раза меньше $\angle ABD$, то есть $\angle CBD = \frac{1}{2} \cdot \angle ABD$. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные. Подставим $\angle CBD = \frac{1}{2} \cdot \angle ABD$: $$\frac{1}{2} \cdot \angle ABD + \angle ABD = 180^\circ$$ $$\frac{3}{2} \cdot \angle ABD = 180^\circ$$ $$\angle ABD = 120^\circ$$ $$\angle CBD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 60^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 120^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 60^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 120^\circ$** №6 **Допущение:** $\angle CBD$ на $17^\circ$ больше $\angle ABD$, то есть $\angle CBD = \angle ABD + 17^\circ$. $\angle CBD + \angle ABD = 180^\circ$ как смежные. Подставим $\angle CBD = \angle ABD + 17^\circ$: $$\angle ABD + 17^\circ + \angle ABD = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle ABD = 163^\circ$$ $$\angle ABD = 81.5^\circ$$ $$\angle CBD = 81.5^\circ + 17^\circ = 98.5^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 98.5^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 81.5^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 98.5^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 81.5^\circ$** №7 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ \alpha - \beta = 20^\circ \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\alpha = 180^\circ - \beta$. Подставим в другое уравнение: $$180^\circ - \beta - \beta = 20^\circ$$ $$2 \cdot \beta = 160^\circ$$ $$\beta = 80^\circ$$ $$\alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 80^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 100^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 80^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 100^\circ$** №8 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ 2\alpha - \beta = 180^\circ \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим в другое уравнение: $$2\alpha - (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$$ $$3\alpha = 360^\circ$$ $$\alpha = 120^\circ$$ $$\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 60^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 120^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 60^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 120^\circ$** №9 Дано: $$\begin{cases} \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta \\ 3\alpha = 2\beta \end{cases}$$ $\alpha + \beta = 180^\circ$, следовательно, $\alpha = 180^\circ - \beta$. Подставим в другое уравнение: $$3(180^\circ - \beta) = 2\beta$$ $$540^\circ - 3\beta = 2\beta$$ $$5\beta = 540^\circ$$ $$\beta = 108^\circ$$ $$\alpha = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$ $\angle ABE = \angle CBD = 108^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 72^\circ$ **Ответ: $\angle CBD = \angle ABE = 108^\circ$, $\angle CBE = \angle ABD = 72^\circ$**