Как доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если известны условия для углов и сторон?

Для доказательства, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или противоположные углы равны. а) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, это означает, что внутренние накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$ равны, следовательно, $AB \parallel CD$. Аналогично, внутренние накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$ равны, следовательно, $AD \parallel BC$. Так как противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, нужно доказать, что $BC \parallel AD$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ$ (сумма внутренних односторонних углов). Учитывая, что $\angle A = \angle C$, получаем $\angle B + \angle A = 180^\circ$. Это означает, что $AD \parallel BC$ (сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$). Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.