Реши логарифмическое неравенство logo,1 (x3 - 5x2 - 25x + 125) <= log0,01 (x-5)4

Давай решим это неравенство вместе! 1. **Определим ОДЗ (область допустимых значений):** * Для первого логарифма: $x^3 - 5x^2 - 25x + 125 > 0$ * Для второго логарифма: $(x - 5)^4 > 0$ 2. **Преобразуем неравенство:** * Заметим, что $0{,}01 = (0{,}1)^2$. Тогда, используя свойство логарифма $\log_{a^b}(x) = \frac{1}{b}\log_a(x)$, получим: $$\log_{0{,}01}((x-5)^4) = \log_{(0{,}1)^2}((x-5)^4) = \frac{1}{2} \log_{0{,}1}((x-5)^4) = 2 \log_{0{,}1}(|x-5|)$$ 3. **Упростим первое выражение под логарифмом:** * Разложим на множители: $x^3 - 5x^2 - 25x + 125 = x^2(x - 5) - 25(x - 5) = (x^2 - 25)(x - 5) = (x - 5)(x + 5)(x - 5) = (x - 5)^2(x + 5)$ 4. **Перепишем неравенство с учетом упрощений:** $$\log_{0{,}1}((x - 5)^2(x + 5)) \le 2 \log_{0{,}1}(|x - 5|)$$ 5. **Учтем, что основание логарифма (0,1) меньше 1, значит, знак неравенства меняется:** $$(x - 5)^2(x + 5) \ge (|x - 5|)^2$$ $$(x - 5)^2(x + 5) \ge (x - 5)^2$$ 6. **Перенесем все в одну сторону:** $$(x - 5)^2(x + 5) - (x - 5)^2 \ge 0$$ $$(x - 5)^2(x + 5 - 1) \ge 0$$ $$(x - 5)^2(x + 4) \ge 0$$ 7. **Решим полученное неравенство методом интервалов:** * $(x - 5)^2 \ge 0$ всегда, кроме $x = 5$. * $x + 4 \ge 0$ при $x \ge -4$. 8. **Учтем ОДЗ:** * $(x - 5)^4 > 0$ при $x \ne 5$. * $(x - 5)^2(x + 5) > 0$ при $x > -4$ и $x \ne 5$. 9. **Объединим решения:** * $x \in (-4; 5) \cup (5; +\infty)$ **Ответ:** $x \in (-4; 5) \cup (5; +\infty)$