Как доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC?

Чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, если $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. 1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. У них: * $\angle BAC = \angle ACD$ (по условию), * $\angle BCA = \angle DAC$ (по условию), * $AC$ — общая сторона. 2. Следовательно, треугольники $ABC$ и $CDA$ подобны по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны). 3. Из подобия треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $AB = CD$ и $BC = DA$. 4. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Для второго случая, когда $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$: 1. Поскольку $AB \parallel CD$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых). 2. Но $\angle A = \angle C$ (по условию), следовательно, $\angle B + \angle A = 180^\circ$. 3. Это означает, что $AD \parallel BC$ (если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны). 4. Таким образом, у четырёхугольника $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, что является признаком параллелограмма. Значит, $ABCD$ — параллелограмм.