Реши значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) ≤ g'(x), если f(x) = sin x cos x, g(x) = 1/2x + 61

Конечно, давай разберемся с этими задачками! Нам нужно найти значения аргумента $x$, при которых производная функции $f(x)$ меньше или равна производной функции $g(x)$, то есть $f'(x) \leq g'(x)$. а) $f(x) = \sin x \cos x$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 61$ Сначала найдем производные обеих функций: $f'(x) = (\sin x \cos x)' = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ $g'(x) = (\frac{1}{2}x + 61)' = \frac{1}{2}$ Теперь нам нужно решить неравенство: $\cos 2x \leq \frac{1}{2}$. Чтобы решить это неравенство, можно воспользоваться графиком косинуса или вспомнить значения косинуса для известных углов. $\cos 2x = \frac{1}{2}$ при $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Тогда $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$. Поскольку нам нужно найти значения $x$, при которых $\cos 2x \leq \frac{1}{2}$, то решение будет интервалом между этими значениями: $\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n$ - целое число. б) $f(x) = \sin x \cos 2x + \sin 2x \cos x$, $g(x) = 35 - 3x$ Сначала упростим $f(x)$, используя формулу синуса суммы: $f(x) = \sin(x + 2x) = \sin 3x$. Теперь найдем производные: $f'(x) = (\sin 3x)' = 3\cos 3x$ $g'(x) = (35 - 3x)' = -3$ Решаем неравенство: $3\cos 3x \leq -3$, что эквивалентно $\cos 3x \leq -1$. Косинус равен -1 только в точке $\pi + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Значит, $3x = \pi + 2\pi n$, и $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$. Поскольку $\cos 3x$ не может быть меньше -1, решением будет только $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n$ - целое число. в) $f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x$, $g(x) = -2x + 9$ Упростим $f(x)$, используя формулу косинуса двойного угла: $f(x) = -\cos 2x$. Теперь найдем производные: $f'(x) = (-\cos 2x)' = 2\sin 2x$ $g'(x) = (-2x + 9)' = -2$ Решаем неравенство: $2\sin 2x \leq -2$, что эквивалентно $\sin 2x \leq -1$. Синус равен -1 только в точке $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ - целое число. Значит, $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. Поскольку $\sin 2x$ не может быть меньше -1, решением будет только $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - целое число. г) $f(x) = x \cos x$, $g(x) = \sin x$ Найдем производные: $f'(x) = (x \cos x)' = \cos x - x \sin x$ $g'(x) = (\sin x)' = \cos x$ Решаем неравенство: $\cos x - x \sin x \leq \cos x$, что эквивалентно $-x \sin x \leq 0$, или $x \sin x \geq 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки или один из них равен нулю. $x \geq 0$ и $\sin x \geq 0$: $x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ - целое число. $x \leq 0$ и $\sin x \leq 0$: $x \in [-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, где $n$ - целое число. Объединяя эти решения, получаем: $x \in [-\pi + 2\pi n; 0] \cup [2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ - целое число.