Реши задания по теме "Производная функции. Применение производной", вариант 1: найди y'(-2), если y = x²(3x²-2).

A1. Сначала найдём производную функции $y = x^2(3x^2 - 2) = 3x^4 - 2x^2$. Производная $y' = 12x^3 - 4x$. Теперь подставим $x = -2$: $y'(-2) = 12(-2)^3 - 4(-2) = 12(-8) + 8 = -96 + 8 = -88$. **Ответ: В** A2. Дана функция $f(x) = -x \cdot \sqrt{x} = -x^{3/2}$. Тогда $f'(x) = - \frac{3}{2} x^{1/2} = - \frac{3}{2} \sqrt{x}$. **Ответ: Г** A3. Дана функция $f(x) = (2x-5) \cdot \sin(3x)$. Найдём производную: $f'(x) = 2 \sin(3x) + (2x-5) \cdot 3 \cos(3x) = 2 \sin(3x) + (6x-15) \cos(3x)$. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + (6 \cdot \frac{\pi}{2} - 15) \cos(\frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + (3\pi - 15) \cdot 0 = -2$. **Ответ: B** A4. Дана функция $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x - 4\frac{1}{2}$. Найдём производную: $y' = -x^2 + x + 6$. Приравняем к нулю: $-x^2 + x + 6 = 0$. Решим квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -2, x_2 = 3$. Найдём вторую производную: $y'' = -2x + 1$. $y''(-2) = -2(-2) + 1 = 5 > 0$, значит, это минимум. $y''(3) = -2(3) + 1 = -5 < 0$, значит, это максимум. Подставим $x = 3$ в исходную функцию: $y(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3 - 4\frac{1}{2} = -9 + \frac{9}{2} + 18 - \frac{9}{2} = 9$. **Ответ: A** A5. Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x^2-2x}$. Найдём производную: $f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-2x) - (x+1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2-2x - (2x^2 - 2x + 2x - 2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2x^2 - 2}{(x^2-2x)^2} = \frac{-x^2 - 2x - 2}{(x^2-2x)^2}$. Производная всегда отрицательна, так как $-x^2 - 2x - 2 < 0$ при любых $x$ (дискриминант отрицательный), а знаменатель всегда положителен (кроме точек, где он не определен). Следовательно, функция убывает на всей области определения, и промежутков возрастания нет. Сумма целых чисел равна 0. **Ответ: B** A6. Дана функция $f(x) = x^2 - 4x$ и точка $M(1; -3)$. Найдём производную: $f'(x) = 2x - 4$. Угловой коэффициент касательной в точке $x = 1$ равен $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$. **Ответ: Б** A7. Дана функция $f(x) = x^2 + 3x + 5$. Касательная проходит через точку $(0; 1)$, то есть $y = kx + 1$. Производная $f'(x) = 2x + 3 = k$. Уравнение касательной: $y = (2x + 3)x + 1$. Абсцисса точки касания отрицательна, то есть $x < 0$. Подставим $x = 0$ в $y = x^2 + 3x + 5$, получим $y = 5$. Касательная не проходит через $(0; 1)$. Проверим касательную $y = -2x - 5$. $f'(x) = -2$, значит, $2x + 3 = -2$, $2x = -5$, $x = -2.5$. $y(-2.5) = (-2.5)^2 + 3(-2.5) + 5 = 6.25 - 7.5 + 5 = 3.75$. Уравнение касательной: $y - 3.75 = -2(x + 2.5)$, $y = -2x - 5 + 3.75 = -2x - 1.25$. Не подходит. Проверим касательную $y = -x + 1$. $f'(x) = -1$, значит, $2x + 3 = -1$, $2x = -4$, $x = -2$. $y(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$. Уравнение касательной: $y - 3 = -1(x + 2)$, $y = -x - 2 + 3 = -x + 1$. Подходит. **Ответ: B** A8. Дано уравнение движения $x(t) = -t^2 + 9t + 8$. Скорость $v(t) = x'(t) = -2t + 9$. Нам нужно найти момент времени, когда скорость равна 1: $-2t + 9 = 1$. $-2t = -8$, $t = 4$. Теперь найдём координату точки в этот момент времени: $x(4) = -(4)^2 + 9(4) + 8 = -16 + 36 + 8 = 28$. **Ответ: Г** A9. По графику $f'(x) \le 0$ на промежутках, где функция убывает. Это промежутки $[-2; -1]$ и $[3; 5]$. **Ответ: Г**