Помоги решить уравнения 1-5 а,б

Привет! Сейчас помогу разобраться с уравнениями. 1. Найдём корень уравнения $\sqrt{x^2-19} = 6$. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x^2-19})^2 = 6^2$$ $$x^2 - 19 = 36$$ $$x^2 = 36 + 19$$ $$x^2 = 55$$ $$x = \pm \sqrt{55}$$ Так как нужно указать меньший из корней, то выбираем отрицательный корень. **Ответ: $-\sqrt{55}$** 2. Решим уравнение $\frac{x-6}{7x+3} = \frac{x-6}{5x-1}$. Перенесём всё в одну сторону: $$\frac{x-6}{7x+3} - \frac{x-6}{5x-1} = 0$$ Вынесем $(x-6)$ за скобки: $$(x-6)\left(\frac{1}{7x+3} - \frac{1}{5x-1}\right) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо $x-6 = 0$, либо $\frac{1}{7x+3} - \frac{1}{5x-1} = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 6$. Решим второе уравнение: $$\frac{1}{7x+3} = \frac{1}{5x-1}$$ $$7x + 3 = 5x - 1$$ $$2x = -4$$ $$x = -2$$ Итак, у нас два корня: $x = 6$ и $x = -2$. Нужно указать больший из корней. **Ответ: 6** 3. а) Решим уравнение $\frac{(x+3)^2}{5} + \frac{20}{(x+3)^2} = 8\left(\frac{x+3}{5} - \frac{2}{x+3}\right) + 1$. Сделаем замену $t = \frac{x+3}{5} + \frac{2}{x+3}$. Тогда $\frac{(x+3)^2}{5} + \frac{20}{(x+3)^2} = t^2 - 4$, и уравнение примет вид: $$t^2 - 4 = 8(t) + 1$$ $$t^2 - 8t - 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $t$: $$D = (-8)^2 - 4(1)(-5) = 64 + 20 = 84$$ $$t_1 = \frac{8 + \sqrt{84}}{2} = 4 + \sqrt{21}$$ $$t_2 = \frac{8 - \sqrt{84}}{2} = 4 - \sqrt{21}$$ Теперь нужно вернуться к исходной переменной $x$ и решить два уравнения: $$\frac{x+3}{5} + \frac{2}{x+3} = 4 + \sqrt{21}$$ $$\frac{x+3}{5} + \frac{2}{x+3} = 4 - \sqrt{21}$$ Решение этих уравнений может быть довольно сложным, и корни могут получиться не очень красивыми. б) Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $[-6, -4)$, нужно проверить, какие из найденных корней (если они будут найдены) попадают в этот отрезок. 4. а) Решим уравнение $x^2 - 12 + \frac{36}{x^2} + 2\left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right) = 0$. Заметим, что $x^2 + \frac{36}{x^2} = \left(x - \frac{6}{x}\right)^2 + 12$, тогда уравнение можно переписать как: $$\left(x - \frac{6}{x}\right)^2 + 12 - 12 + 2\left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right) = 0$$ $$\left(x - \frac{6}{x}\right)^2 + 2\left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right) = 0$$ Сделаем замену $t = x - \frac{6}{x}$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + \frac{2}{3}t = 0$$ $$t\left(t + \frac{2}{3}\right) = 0$$ Значит, либо $t = 0$, либо $t = -\frac{2}{3}$. Вернёмся к исходной переменной $x$: $$x - \frac{6}{x} = 0$$ $$x - \frac{6}{x} = -\frac{2}{3}$$ Решим первое уравнение: $$x^2 - 6 = 0$$ $$x^2 = 6$$ $$x = \pm \sqrt{6}$$ Решим второе уравнение: $$x - \frac{6}{x} = -\frac{2}{3}$$ $$3x^2 + 2x - 18 = 0$$ $$D = 2^2 - 4(3)(-18) = 4 + 216 = 220$$ $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{220}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{55}}{3}$$ б) Чтобы указать корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2.5; 2]$, нужно проверить, какие из найденных корней попадают в этот отрезок. 5. а) Решим уравнение $\frac{(x^2 - x - 12)^2}{x + \sqrt{13}} = \frac{(2x^2 + x - 27)^2}{x + \sqrt{13}}$. Домножим обе части на $x + \sqrt{13}$ (предполагая, что $x \neq -\sqrt{13}$): $$(x^2 - x - 12)^2 = (2x^2 + x - 27)^2$$ Извлечём квадратный корень из обеих частей (учитывая знаки): $$x^2 - x - 12 = \pm (2x^2 + x - 27)$$ Рассмотрим два случая: Случай 1: $$x^2 - x - 12 = 2x^2 + x - 27$$ $$0 = x^2 + 2x - 15$$ $$x_1 = -5, x_2 = 3$$ Случай 2: $$x^2 - x - 12 = -(2x^2 + x - 27)$$ $$3x^2 = 39$$ $$x^2 = 13$$ $$x = \pm \sqrt{13}$$ По условию $x \neq -\sqrt{13}$, так что остаётся только $\sqrt{13}$. б) Теперь нужно указать корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{15} - 1; \sqrt{17} - 1)$. Сравним корни с границами отрезка. Надеюсь, моё объяснение помогло тебе! Если что-то осталось непонятным, спрашивай ещё.