Можешь помочь мне упростить выражения: 1) $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}}$

Привет! Давай упростим эти выражения вместе. 1069. 1) $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}}$ * Сначала упростим каждый корень по отдельности: * $\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ * $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ * $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ * $\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ * Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение: $$3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} + 3 \cdot 6\sqrt{5} - 4 \cdot \frac{5\sqrt{5}}{2} = $$ $$\sqrt{5} - \sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$$ **Ответ: $8\sqrt{5}$** 1069. 2) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ * Избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение знаменателя: * $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ * $\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ * $\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ * Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение: $$\sqrt{6} + \sqrt{5} - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = $$ $$\sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{6} - \sqrt{2} = 0$$ **Ответ: 0** 1070. 1) $\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)}$ * Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$. * Тогда выражение под корнем можно переписать как: $$\sqrt{a^4(3a - 1)^2} = \sqrt{(a^2)^2(3a - 1)^2} = a^2(3a - 1) = 3a^3 - a^2$$ **Ответ: $3a^3 - a^2$** 1070. 2) $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}$ * Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $4b^4 + 4b^2 + 1 = (2b^2 + 1)^2$. * Тогда выражение под корнем можно переписать как: $$\sqrt{b^2(2b^2 + 1)^2} = b(2b^2 + 1) = 2b^3 + b$$ **Ответ: $2b^3 + b$**