Реши систему уравнений x+y²=3, x⁴+y⁴+6x=29

Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x + y^2 = 3 \\ x^4 + y^4 + 6x = 29 \end{cases}$$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 3 - y^2$. Подставим это во второе уравнение: $$(3 - y^2)^4 + y^4 + 6(3 - y^2) = 29$$ Раскроем скобки и упростим: $$81 - 108y^2 + 54y^4 - 12y^6 + y^8 + y^4 + 18 - 6y^2 = 29$$ $$y^8 - 12y^6 + 55y^4 - 114y^2 + 70 = 0$$ Пусть $z = y^2$, тогда: $$z^4 - 12z^3 + 55z^2 - 114z + 70 = 0$$ Можно заметить, что $z = 1$ является корнем этого уравнения, так как: $$1 - 12 + 55 - 114 + 70 = 0$$ Разделим многочлен $z^4 - 12z^3 + 55z^2 - 114z + 70$ на $(z - 1)$. Получим: $$z^3 - 11z^2 + 44z - 70 = 0$$ Подбором находим еще один корень $z = 5$: $$125 - 11 \cdot 25 + 44 \cdot 5 - 70 = 125 - 275 + 220 - 70 = 0$$ Разделим $z^3 - 11z^2 + 44z - 70$ на $(z - 5)$. Получим: $$z^2 - 6z + 14 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $z^2 - 6z + 14 = 0$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 36 - 56 = -20$$ Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет. Итак, мы нашли два значения для $z$: $z_1 = 1$ и $z_2 = 5$. Тогда для $y$ получаем: $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ $y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: Если $y = 1$, то $x = 3 - 1^2 = 2$ Если $y = -1$, то $x = 3 - (-1)^2 = 2$ Если $y = \sqrt{5}$, то $x = 3 - (\sqrt{5})^2 = 3 - 5 = -2$ Если $y = -\sqrt{5}$, то $x = 3 - (-\sqrt{5})^2 = 3 - 5 = -2$ Проверим найденные решения на втором уравнении: Для $(2, 1)$: $2^4 + 1^4 + 6 \cdot 2 = 16 + 1 + 12 = 29$ (верно) Для $(2, -1)$: $2^4 + (-1)^4 + 6 \cdot 2 = 16 + 1 + 12 = 29$ (верно) Для $(-2, \sqrt{5})$: $(-2)^4 + (\sqrt{5})^4 + 6 \cdot (-2) = 16 + 25 - 12 = 29$ (верно) Для $(-2, -\sqrt{5})$: $(-2)^4 + (-\sqrt{5})^4 + 6 \cdot (-2) = 16 + 25 - 12 = 29$ (верно) **Ответ:** $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, \sqrt{5})$, $(-2, -\sqrt{5})$