Докажи, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC.

Конечно, давай докажем! а) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то: 1. $ \angle BAC = \angle ACD$ говорит нам о том, что прямые AB и CD параллельны (потому что накрест лежащие углы равны). 2. $\angle BCA = \angle DAC$ говорит нам о том, что прямые BC и AD параллельны (по той же причине). 3. Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Значит, ABCD — параллелограмм. б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то: 1. Так как $AB \parallel CD$, то ABCD — трапеция (четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет). 2. Но у нас углы A и C равны. Трапеция, у которой углы при основании равны, является равнобедренной. 3. В равнобедренной трапеции углы при другом основании тоже равны, то есть $\angle B = \angle D$. 4. Сумма углов в четырёхугольнике равна $360^\circ$. Значит, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. 5. Так как $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, то $2 \cdot \angle A + 2 \cdot \angle B = 360^\circ$, и $\angle A + \angle B = 180^\circ$. 6. Углы A и B — внутренние односторонние углы при прямых AD и BC и секущей AB. Если их сумма равна $180^\circ$, то AD и BC параллельны. 7. Итак, $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, значит, ABCD — параллелограмм.