Помоги мне решить неравенство (x² + 2x + 1)(x - 3) / (x² + 3x + 2) ≥ 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Оно выглядит немного сложно, но мы справимся! 1. **Разложим на множители:** * Числитель: $(x^2 + 2x + 1)$ это полный квадрат, его можно записать как $(x+1)^2$. * Знаменатель: $x^2 + 3x + 2$ можно разложить на $(x+1)(x+2)$. Теперь наше неравенство выглядит так: $$\frac{(x+1)^2(x-3)}{(x+1)(x+2)} \ge 0$$ 2. **Сократим:** Можно сократить $(x+1)$ в числителе и знаменателе, но важно помнить, что $x \ne -1$, так как на ноль делить нельзя. Тогда получим: $$\frac{(x+1)(x-3)}{(x+2)} \ge 0$$ 3. **Найдем нули и точки разрыва:** * Нули (где выражение равно нулю): $x = -1$ и $x = 3$. * Точки разрыва (где знаменатель равен нулю): $x = -2$. 4. **Нарисуем числовую прямую:** Отметим на числовой прямой точки $-2$, $-1$ и $3$. Они разбивают прямую на интервалы. 5. **Определим знаки на интервалах:** Берем любое число из каждого интервала и подставляем в упрощенное неравенство, чтобы узнать знак. * $x < -2$: например, $x = -3$. Тогда $\frac{(-3+1)(-3-3)}{(-3+2)} = \frac{(-2)(-6)}{(-1)} = -12 < 0$. * $-2 < x < -1$: например, $x = -1.5$. Тогда $\frac{(-1.5+1)(-1.5-3)}{(-1.5+2)} = \frac{(-0.5)(-4.5)}{(0.5)} = 4.5 > 0$. * $-1 < x < 3$: например, $x = 0$. Тогда $\frac{(0+1)(0-3)}{(0+2)} = \frac{(1)(-3)}{(2)} = -1.5 < 0$. * $x > 3$: например, $x = 4$. Тогда $\frac{(4+1)(4-3)}{(4+2)} = \frac{(5)(1)}{(6)} = \frac{5}{6} > 0$. 6. **Запишем решение:** Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Не забываем про точку $x = -1$, где числитель обращается в ноль. **Ответ:** $x \in (-2; -1] \cup [3; +\infty)$.