Помоги мне решить задачи 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71 и 72

63. Дано: $2 < b < 6$. Оцените значение выражения: 1) $\frac{1}{2}b$ Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{2}b$, нужно умножить все части неравенства $2 < b < 6$ на $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} * 2 < \frac{1}{2} * b < \frac{1}{2} * 6$ $1 < \frac{1}{2}b < 3$ 2) $b - 6$ Чтобы оценить значение выражения $b - 6$, нужно вычесть 6 из всех частей неравенства $2 < b < 6$: $2 - 6 < b - 6 < 6 - 6$ $-4 < b - 6 < 0$ 3) $2b + 5$ Чтобы оценить значение выражения $2b + 5$, сначала умножим все части неравенства $2 < b < 6$ на 2, а затем прибавим 5: $2 * 2 < 2 * b < 2 * 6$ $4 < 2b < 12$ $4 + 5 < 2b + 5 < 12 + 5$ $9 < 2b + 5 < 17$ 4) $4 - b$ Чтобы оценить значение выражения $4 - b$, сначала умножим все части неравенства $2 < b < 6$ на -1 (не забываем изменить знаки неравенства), а затем прибавим 4: $-1 * 2 > -1 * b > -1 * 6$ $-2 > -b > -6$ $-6 < -b < -2$ $4 - 6 < 4 - b < 4 - 2$ $-2 < 4 - b < 2$ 64. Известно, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$. Оцените значение выражения: 1) $3\sqrt{7}$ Чтобы оценить значение выражения $3\sqrt{7}$, умножим все части неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 3: $3 * 2,6 < 3 * \sqrt{7} < 3 * 2,7$ $7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$ 2) $-2\sqrt{7}$ Чтобы оценить значение выражения $-2\sqrt{7}$, умножим все части неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на -2 (не забываем изменить знаки неравенства): $-2 * 2,6 > -2 * \sqrt{7} > -2 * 2,7$ $-5,2 > -2\sqrt{7} > -5,4$ $-5,4 < -2\sqrt{7} < -5,2$ 3) $\sqrt{7} + 1,3$ Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{7} + 1,3$, прибавим 1,3 ко всем частям неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$: $2,6 + 1,3 < \sqrt{7} + 1,3 < 2,7 + 1,3$ $3,9 < \sqrt{7} + 1,3 < 4$ 4) $0,1\sqrt{7} + 0,3$ Чтобы оценить значение выражения $0,1\sqrt{7} + 0,3$, сначала умножим все части неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 0,1, а затем прибавим 0,3: $0,1 * 2,6 < 0,1 * \sqrt{7} < 0,1 * 2,7$ $0,26 < 0,1\sqrt{7} < 0,27$ $0,26 + 0,3 < 0,1\sqrt{7} + 0,3 < 0,27 + 0,3$ $0,56 < 0,1\sqrt{7} + 0,3 < 0,57$ 65. Дано: $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$. Оцените значение выражения: 1) $a + b$ Чтобы оценить значение выражения $a + b$, сложим неравенства $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$: $5 + 4 < a + b < 6 + 7$ $9 < a + b < 13$ 2) $ab$ Чтобы оценить значение выражения $ab$, умножим неравенства $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$: $5 * 4 < a * b < 6 * 7$ $20 < ab < 42$ 3) $a - b$ Чтобы оценить значение выражения $a - b$, сначала умножим неравенство $4 < b < 7$ на -1 (не забываем изменить знаки неравенства), а затем сложим с неравенством $5 < a < 6$: $-1 * 4 > -1 * b > -1 * 7$ $-4 > -b > -7$ $-7 < -b < -4$ $5 - 7 < a - b < 6 - 4$ $-2 < a - b < 2$ 66. Известно, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Оцените значение выражения: 1) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{5} + \sqrt{3}$, сложим неравенства $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$: $2,2 + 1,7 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,3 + 1,8$ $3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$ 2) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{5} - \sqrt{3}$, сначала умножим неравенство $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ на -1 (не забываем изменить знаки неравенства), а затем сложим с неравенством $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$: $-1 * 1,7 > -1 * \sqrt{3} > -1 * 1,8$ $-1,7 > -\sqrt{3} > -1,8$ $-1,8 < -\sqrt{3} < -1,7$ $2,2 - 1,8 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 2,3 - 1,7$ $0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$ 3) $\sqrt{15}$ Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{15}$, умножим неравенства $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$: $2,2 * 1,7 < \sqrt{5} * \sqrt{3} < 2,3 * 1,8$ $3,74 < \sqrt{15} < 4,14$ 67. Дано: $2 < x < 4$. Оцените значение выражения $\frac{1}{x}$. Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{x}$, возьмем обратные значения всех частей неравенства $2 < x < 4$ (не забываем изменить знаки неравенства): $\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{4}$ $\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ 68. Оцените среднее арифметическое значений $a$ и $b$, если известно, что $2,5 < a < 2,6$ и $3,1 < b < 3,2$. Чтобы оценить среднее арифметическое $\frac{a + b}{2}$, сначала сложим неравенства $2,5 < a < 2,6$ и $3,1 < b < 3,2$, а затем разделим на 2: $2,5 + 3,1 < a + b < 2,6 + 3,2$ $5,6 < a + b < 5,8$ $\frac{5,6}{2} < \frac{a + b}{2} < \frac{5,8}{2}$ $2,8 < \frac{a + b}{2} < 2,9$ 69. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием $a$ см и боковой стороной $b$ см, если $10 < a < 14$ и $12 < b < 18$. Периметр равнобедренного треугольника равен $P = a + 2b$. Чтобы оценить периметр, сначала умножим неравенство $12 < b < 18$ на 2, а затем сложим с неравенством $10 < a < 14$: $2 * 12 < 2 * b < 2 * 18$ $24 < 2b < 36$ $10 + 24 < a + 2b < 14 + 36$ $34 < P < 50$ 70. Оцените периметр параллелограмма со сторонами $a$ см и $b$ см, если $15 \le a \le 19$ и $6 \le b \le 11$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a + b)$. Чтобы оценить периметр, сначала сложим неравенства $15 \le a \le 19$ и $6 \le b \le 11$, а затем умножим на 2: $15 + 6 \le a + b \le 19 + 11$ $21 \le a + b \le 30$ $2 * 21 \le 2 * (a + b) \le 2 * 30$ $42 \le P \le 60$ 71. Верно ли утверждение: 1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, а $b$ больше 7, то их сумма будет больше, чем $2 + 7 = 9$. 2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, а $b$ больше 7, то их сумма будет больше, чем $2 + 7 = 9$, а значит, больше 8. 3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$; Это утверждение не всегда верно. Например, если $a = 2,1$ и $b = 7,1$, то $a + b = 9,2$, что не больше 9,2. 4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$; Это утверждение не всегда верно. Чтобы проверить, рассмотрим наименьшие возможные значения $a$ и $b$: $a$ чуть больше 2 (например, 2.1), а $b$ чуть больше 7 (например, 7.1). Тогда $a - b$ будет примерно $2.1 - 7.1 = -5$. Так как $a$ и $b$ строго больше 2 и 7 соответственно, $a - b$ должно быть строго больше -5. Значит, $a - b$ может быть и меньше -5 (например, -5.1), так что утверждение не всегда верно. 5) если $a > 2$ и $b > 7$, то $b - a > 5$; Это утверждение не всегда верно. Чтобы проверить, рассмотрим наименьшие возможные значения $a$ и $b$: $a$ чуть больше 2 (например, 2.1), а $b$ чуть больше 7 (например, 7.1). Тогда $b - a$ будет примерно $7.1 - 2.1 = 5$. Так как $a$ и $b$ строго больше 2 и 7 соответственно, $b - a$ должно быть строго больше 5. Значит, $b - a$ может быть и меньше 5 (например, 4.9), так что утверждение не всегда верно. 6) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, а $b$ больше 7, то их произведение будет больше, чем $2 * 7 = 14$, а значит, больше 13. 7) если $a > 2$ и $b > 7$, то $3a + 2b > 20$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, а $b$ больше 7, то $3a$ больше 6, а $2b$ больше 14. Значит, $3a + 2b$ будет больше, чем $6 + 14 = 20$. 8) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, а $b$ меньше -7, то $-b$ больше 7. Значит, $a - b$ будет больше, чем $2 + 7 = 9$. 9) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$; Это утверждение верно. Если $a$ меньше 2, а $b$ меньше 7, то их произведение будет меньше, чем $2 * 7 = 14$. 10) если $a > 2$, то $a^2 > 4$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, то $a^2$ будет больше, чем $2^2 = 4$. 11) если $a < 2$, то $a^2 < 4$; Это утверждение не всегда верно. Например, если $a = -3$, то $a^2 = 9$, что не меньше 4. 12) если $a > 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$; Это утверждение верно. Если $a$ больше 2, то $\frac{1}{a}$ будет меньше, чем $\frac{1}{2}$. 13) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$; Это утверждение не всегда верно. Например, если $a = -3$, то $\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$, что не больше $\frac{1}{2}$. 14) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$? Это утверждение не всегда верно. Например, если $a = -2$, то $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$, что меньше $-\frac{1}{3}$. 72. Дано: $a > 2,4$ и $b > 1,6$. Сравните: 1) $a + \frac{3}{4}b$ и $3,6$; Чтобы сравнить $a + \frac{3}{4}b$ и $3,6$, сначала оценим $a + \frac{3}{4}b$: $a > 2,4$ $b > 1,6$ $\frac{3}{4}b > \frac{3}{4} * 1,6$ $\frac{3}{4}b > 1,2$ $a + \frac{3}{4}b > 2,4 + 1,2$ $a + \frac{3}{4}b > 3,6$ Значит, $a + \frac{3}{4}b$ больше, чем $3,6$. 2) $(a + b)^2$ и $16$; Чтобы сравнить $(a + b)^2$ и $16$, сначала оценим $a + b$: $a > 2,4$ $b > 1,6$ $a + b > 2,4 + 1,6$ $a + b > 4$ $(a + b)^2 > 4^2$ $(a + b)^2 > 16$ Значит, $(a + b)^2$ больше, чем $16$. 3) $(a - 0,4)(b + 1,4)$ и $6$. Чтобы сравнить $(a - 0,4)(b + 1,4)$ и $6$, сначала оценим $a - 0,4$ и $b + 1,4$: $a > 2,4$ $a - 0,4 > 2,4 - 0,4$ $a - 0,4 > 2$ $b > 1,6$ $b + 1,4 > 1,6 + 1,4$ $b + 1,4 > 3$ $(a - 0,4)(b + 1,4) > 2 * 3$ $(a - 0,4)(b + 1,4) > 6$ Значит, $(a - 0,4)(b + 1,4)$ больше, чем $6$.