Докажи, что MN - средняя линия треугольника ABC.

Давай разберёмся с этой геометрической задачей! Нам нужно доказать, что отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Вот как это можно сделать: 1. **По условию**: $AM = MB$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $AB$. 2. **Дополнительное построение**: Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $AB$. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой $MN$ как $D$. 3. **Рассмотрим параллелограмм $BCDM$**: Так как $MB$ параллельна и равна $CD$ (по построению), то $MB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма. 4. **Сравним отрезки**: Так как $AM = MB$ (по условию) и $MB = CD$, то $AM = DC$. 5. **Рассмотрим треугольники $AMN$ и $CDN$**: * $AM = CD$ (доказано выше). * $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущими $AC$ и $MD$. 6. **Вывод о равенстве треугольников**: Треугольники $AMN$ и $CDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла). 7. **Следствие равенства**: Из равенства треугольников следует, что $AN = NC$. Это означает, что точка $N$ — середина стороны $AC$. 8. **Определение средней линии**: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. **Ответ:** Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.