Вычисли значение выражения 2^(2-3√3) * 8^(√3)

1) Давай упростим выражение $2^{2-3\sqrt{3}} \cdot 8^{\sqrt{3}}$: - Заметим, что $8 = 2^3$. Тогда $8^{\sqrt{3}} = (2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}}$. - Теперь у нас есть $2^{2-3\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}}$. - При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2^{(2-3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})} = 2^2 = 4$. **Ответ: 4** 2) Давай упростим выражение $4^{1-2\sqrt{3}} \cdot 16^{\sqrt{3}}$: - Заметим, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$. Тогда $4^{1-2\sqrt{3}} = (2^2)^{1-2\sqrt{3}} = 2^{2(1-2\sqrt{3})} = 2^{2-4\sqrt{3}}$ и $16^{\sqrt{3}} = (2^4)^{\sqrt{3}} = 2^{4\sqrt{3}}$. - Теперь у нас есть $2^{2-4\sqrt{3}} \cdot 2^{4\sqrt{3}}$. - При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2^{(2-4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})} = 2^2 = 4$. **Ответ: 4** 3) Давай упростим выражение $\frac{12^{3+\sqrt{5}}}{3^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}}$: - Заметим, что $12 = 3 \cdot 4$. Тогда $12^{3+\sqrt{5}} = (3 \cdot 4)^{3+\sqrt{5}} = 3^{3+\sqrt{5}} \cdot 4^{3+\sqrt{5}}$. - Теперь у нас есть $\frac{3^{3+\sqrt{5}} \cdot 4^{3+\sqrt{5}}}{3^{2+\sqrt{5}} \cdot 4^{1+\sqrt{5}}}$. - При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{3^{3+\sqrt{5}}}{3^{2+\sqrt{5}}} = 3^{(3+\sqrt{5}) - (2+\sqrt{5})} = 3^1 = 3$ и $\frac{4^{3+\sqrt{5}}}{4^{1+\sqrt{5}}} = 4^{(3+\sqrt{5}) - (1+\sqrt{5})} = 4^2 = 16$. - Умножаем результаты: $3 \cdot 16 = 48$. **Ответ: 48** 4) Давай упростим выражение $\frac{15^{4+2\sqrt{3}}}{5^{6+2\sqrt{3}} \cdot 3^{3+2\sqrt{3}}}$: - Заметим, что $15 = 5 \cdot 3$. Тогда $15^{4+2\sqrt{3}} = (5 \cdot 3)^{4+2\sqrt{3}} = 5^{4+2\sqrt{3}} \cdot 3^{4+2\sqrt{3}}$. - Теперь у нас есть $\frac{5^{4+2\sqrt{3}} \cdot 3^{4+2\sqrt{3}}}{5^{6+2\sqrt{3}} \cdot 3^{3+2\sqrt{3}}}$. - При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{5^{4+2\sqrt{3}}}{5^{6+2\sqrt{3}}} = 5^{(4+2\sqrt{3}) - (6+2\sqrt{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ и $\frac{3^{4+2\sqrt{3}}}{3^{3+2\sqrt{3}}} = 3^{(4+2\sqrt{3}) - (3+2\sqrt{3})} = 3^1 = 3$. - Умножаем результаты: $\frac{1}{25} \cdot 3 = \frac{3}{25}$. **Ответ: 3/25** 5) Давай упростим выражение $(9^{\sqrt{3}-2} \cdot 3^{2\sqrt{3}-3}) \cdot 3^{5-2\sqrt{3}}$: - Заметим, что $9 = 3^2$. Тогда $9^{\sqrt{3}-2} = (3^2)^{\sqrt{3}-2} = 3^{2(\sqrt{3}-2)} = 3^{2\sqrt{3}-4}$. - Теперь у нас есть $(3^{2\sqrt{3}-4} \cdot 3^{2\sqrt{3}-3}) \cdot 3^{5-2\sqrt{3}}$. - При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $3^{(2\sqrt{3}-4) + (2\sqrt{3}-3) + (5-2\sqrt{3})} = 3^{2\sqrt{3}-2}$. **Ответ: $3^{2\sqrt{3}-2}$** 6) Давай упростим выражение $(7^{2\sqrt{2}} - 49^{\sqrt{2}-1}) \cdot 7^{-2\sqrt{2}}$: - Заметим, что $49 = 7^2$. Тогда $49^{\sqrt{2}-1} = (7^2)^{\sqrt{2}-1} = 7^{2(\sqrt{2}-1)} = 7^{2\sqrt{2}-2}$. - Теперь у нас есть $(7^{2\sqrt{2}} - 7^{2\sqrt{2}-2}) \cdot 7^{-2\sqrt{2}}$. - Раскрываем скобки: $7^{2\sqrt{2}} \cdot 7^{-2\sqrt{2}} - 7^{2\sqrt{2}-2} \cdot 7^{-2\sqrt{2}}$. - При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $7^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} - 7^{(2\sqrt{2}-2) + (-2\sqrt{2})} = 7^0 - 7^{-2} = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$. **Ответ: 48/49**