Докажи, что если отрезок BC пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD

4. Дано: Прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что если отрезок $BC$ пересекает прямую $AD$, то точка пересечения принадлежит отрезку $AD$ (см. рис. 70). Доказательство: Предположим, что $BC$ пересекает $AD$ в точке $X$. Нужно доказать, что $X$ лежит на отрезке $AD$, то есть между точками $A$ и $D$. Так как $AB \parallel CD$, то углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими и равны. Аналогично, углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ также равны. Рассмотрим треугольники $ABX$ и $DCX$. У них: $\angle BAX = \angle CDX$ (как $\angle BAC = \angle DCA$) $\angle ABX = \angle DCX$ (как $\angle ABD = \angle CDB$) Значит, треугольники $ABX$ и $DCX$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: $\frac{AX}{DX} = \frac{AB}{CD}$ Так как $AB$ и $CD$ — отрезки, то $\frac{AB}{CD} > 0$. Следовательно, $\frac{AX}{DX} > 0$. Это означает, что точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $X$. Теперь рассмотрим расположение точки $X$ относительно отрезка $AD$. Поскольку $X$ является точкой пересечения прямых $BC$ и $AD$, и $AB \parallel CD$, точка $X$ не может лежать вне отрезка $AD$. Если бы $X$ лежала вне отрезка $AD$, то прямые $AB$ и $CD$ не были бы параллельными, что противоречит условию. Таким образом, точка $X$ лежит на отрезке $AD$, что и требовалось доказать.