Реши систему уравнений: a) {x - y = 1, xy = 240

a) Давай решим систему уравнений: Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$x = y + 1$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(y + 1)y = 240$$ Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $$y^2 + y - 240 = 0$$ Теперь нужно найти корни этого уравнения. Можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-240) = 1 + 960 = 961$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: Если $y_1 = 15$, то $x_1 = y_1 + 1 = 15 + 1 = 16$ Если $y_2 = -16$, то $x_2 = y_2 + 1 = -16 + 1 = -15$ Итак, решения системы уравнений: $$(16, 15) \text{ и } (-15, -16)$$ б) Решим систему уравнений: Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $$y = 2x - 15$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + (2x - 15)^2 = 65$$ Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $$x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65$$ $$5x^2 - 60x + 160 = 0$$ Разделим все на 5: $$x^2 - 12x + 32 = 0$$ Теперь нужно найти корни этого уравнения. Опять используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(32) = 144 - 128 = 16$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 8$, то $y_1 = 2x_1 - 15 = 2(8) - 15 = 16 - 15 = 1$ Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 2x_2 - 15 = 2(4) - 15 = 8 - 15 = -7$ Итак, решения системы уравнений: $$(8, 1) \text{ и } (4, -7)$$ **Ответ:** a) $(16, 15)$ и $(-15, -16)$; б) $(8, 1)$ и $(4, -7)$.