Реши примеры из самостоятельной работы

1. Чтобы найти значение выражения $1,9 - 7,5$, нужно просто вычесть из 1,9 число 7,5. Получается: $1,9 - 7,5 = -5,6$. **Ответ: -5,6** 2. а) Сначала упростим выражение $a^{12} \cdot (a^{-4})^4$. Когда возводим степень в степень, показатели перемножаются: $(a^{-4})^4 = a^{-16}$. Теперь у нас есть $a^{12} \cdot a^{-16}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^{12-16} = a^{-4}$. Теперь подставим $a = \frac{1}{2}$: $\left( \frac{1}{2} \right)^{-4}$. Отрицательная степень означает, что нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень: $(2)^4 = 16$. **Ответ: 16** б) Считаем: $3^4 \cdot 10^5 = 81 \cdot 100000 = 8100000$ **Ответ: 8 100 000** 3. а) Сначала упростим выражение $\sqrt{11 \cdot 3^2} \cdot \sqrt{11 \cdot 5^4}$. Можно записать как $\sqrt{11 \cdot 9} \cdot \sqrt{11 \cdot 625}$. Перемножим числа под корнями: $\sqrt{11 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 625} = \sqrt{11^2 \cdot 9 \cdot 625}$. Теперь извлечём корни: $11 \cdot 3 \cdot 25 = 11 \cdot 75 = 825$. **Ответ: 825** б) Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2 = (9 + 6\sqrt{5} + 5) + (9 - 6\sqrt{5} + 5) = 9 + 5 + 9 + 5 = 28$. **Ответ: 28** 4. Надо понять, какие целые числа находятся между $3\sqrt{7}$ и $7\sqrt{3}$. Приблизительно: $3\sqrt{7} \approx 3 \cdot 2,65 = 7,95$, $7\sqrt{3} \approx 7 \cdot 1,73 = 12,11$. Целые числа между 7,95 и 12,11 это: 8, 9, 10, 11, 12. Их всего 5 штук. **Ответ: 5** 5. Сначала упростим выражение $\frac{\sqrt{4a^6} \cdot \sqrt{25b^7}}{\sqrt{a^2b^7}}$. $\sqrt{4a^6} = 2a^3$, $\sqrt{25b^7} = 5b^3\sqrt{b}$, $\sqrt{a^2b^7} = a b^3 \sqrt{b}$. Теперь подставим в выражение: $\frac{2a^3 \cdot 5b^3\sqrt{b}}{a b^3 \sqrt{b}} = 10a^2$. Подставим $a = 9$: $10 \cdot 9^2 = 10 \cdot 81 = 810$. **Ответ: 810** 6. Решим уравнение: $8 - 5(2x - 3) = 13 - 6x$. Раскроем скобки: $8 - 10x + 15 = 13 - 6x$. Приведём подобные слагаемые: $23 - 10x = 13 - 6x$. Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $-10x + 6x = 13 - 23$. Получается: $-4x = -10$. Разделим обе части на -4: $x = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2} = 2,5$. **Ответ: 2,5** 7. Решим уравнение: $4x^2 + 7 = 7 + 24x$. Перенесём всё в одну сторону: $4x^2 - 24x = 0$. Вынесем $4x$ за скобки: $4x(x - 6) = 0$. Значит, либо $4x = 0$, либо $x - 6 = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. **Ответ: 06** 8. Решим систему неравенств: $$\begin{cases} 3x + 12 \ge 0 \\ x + 3 \le 1 \end{cases}$$ Из первого неравенства: $3x \ge -12$, значит $x \ge -4$. Из второго неравенства: $x \le 1 - 3$, значит $x \le -2$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это -2. **Ответ: -2** 9. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} (2x+4)^2 = 3y \\ (4x+2)^2 = 3y \end{cases}$$ Так как обе части равны $3y$, то можем приравнять их друг к другу: $(2x+4)^2 = (4x+2)^2$ Раскроем скобки: $4x^2 + 16x + 16 = 16x^2 + 16x + 4$ Перенесем все в одну сторону: $12x^2 - 12 = 0$ Разделим на 12: $x^2 - 1 = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ Теперь найдем $y$ для каждого значения $x$: Если $x = 1$, то $3y = (2(1)+4)^2 = 6^2 = 36$, значит $y = 12$. Если $x = -1$, то $3y = (2(-1)+4)^2 = 2^2 = 4$, значит $y = \frac{4}{3}$. **Ответ: (1; 12), (-1; 4/3)** 10. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x - 2y = -8 \\ \frac{x}{4} + \frac{y-2}{3} = -1 \end{cases}$$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 8$. Подставим это во второе уравнение: $\frac{2y - 8}{4} + \frac{y - 2}{3} = -1$ Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей: $3(2y - 8) + 4(y - 2) = -12$ Раскроем скобки: $6y - 24 + 4y - 8 = -12$ $10y - 32 = -12$ $10y = 20$ $y = 2$ Теперь найдем $x$: $x = 2(2) - 8 = 4 - 8 = -4$. **Ответ: (-4; 2)**