Реши задачу 766: найди площадь полной поверхности пирамиды, объём пирамиды, угол между боковым ребром и плоскостью основания, угол наклона боковой грани к плоскости основания, скалярное произведение векторов, радиус шара, вписанного в пирамиду

Привет! Давай решим эту задачу вместе. **Допущение:** Пирамида $DABC$ правильная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник, и все боковые рёбра равны. **а) Площадь полной поверхности пирамиды** 1. Найдём сторону основания $AB$. Так как $DO$ — высота, то треугольник $DOA$ прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AO = \sqrt{DA^2 - DO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$ 2. $AO$ — это $\frac{2}{3}$ высоты основания (медианы в равностороннем треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины). Если $h$ — высота основания, то: $$\frac{2}{3}h = 4 \Rightarrow h = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \text{ см}$$ 3. Сторона основания $a$ связана с высотой $h$ равностороннего треугольника формулой: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$ 4. Площадь основания $S_{осн}$ равна: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$ 5. Апофема (высота боковой грани) $d$ равна: \begin{aligned} d^2 &= DO^2 + (a/2)^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21 \\ d &= \sqrt{21}\text{ см} \end{aligned} 6. Площадь боковой грани $S_{бок}$ равна: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 2\sqrt{63} = 6\sqrt{7} \text{ см}^2$$ 7. Площадь боковой поверхности $S_{полн}$ равна: $$S_{полн} = 3 \cdot S_{бок} = 3 \cdot 6\sqrt{7} = 18\sqrt{7} \text{ см}^2$$ 8. Площадь полной поверхности пирамиды: $$S = S_{осн} + S_{бок} = 12\sqrt{3} + 18\sqrt{7} \approx 60,68 \text{ см}^2$$ **б) Объём пирамиды** Объём пирамиды $V$ равен: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot DO = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 3 = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \text{ см}^3$$ **в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания** Угол между боковым ребром $DA$ и плоскостью основания — это угол $DAO$. Обозначим его $\alpha$: $$\tan(\alpha) = \frac{DO}{AO} = \frac{3}{4} \Rightarrow \alpha = \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36,87^\circ$$ **г) Угол наклона боковой грани к плоскости основания** Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это угол $DOH$, где $H$ — середина стороны основания. Обозначим его $\beta$: $$\tan(\beta) = \frac{DO}{OH} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \beta = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 40,89^\circ$$ **д) Скалярное произведение векторов** $\frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) \cdot \vec{MA}$ $M$ — середина $BC$, значит, $\frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) = \vec{DM}$. Тогда выражение равно $\vec{DM} \cdot \vec{MA}$. 1. Координаты точек: $D(0, 0, 3)$, $M(2\sqrt{3}, 0, 0)$, $A(0, 2\cdot3/3 \cdot \sqrt{3}, 0) = (0, 2\sqrt{3}, 0)$. 2. Векторы: $\vec{DM} = (2\sqrt{3} - 0, 0 - 0, 0 - 3) = (2\sqrt{3}, 0, -3)$, $\vec{MA} = (0 - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 0)$. 3. Скалярное произведение: $$\vec{DM} \cdot \vec{MA} = (2\sqrt{3}) \cdot (-2\sqrt{3}) + 0 \cdot (2\sqrt{3}) + (-3) \cdot 0 = -12$$ **е) Радиус шара, вписанного в пирамиду** Радиус вписанного шара $r$ можно найти по формуле: $$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 12\sqrt{3}}{12\sqrt{3} + 18\sqrt{7}} = \frac{36\sqrt{3}}{12\sqrt{3} + 18\sqrt{7}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{7}} \approx 1,03 \text{ см}$$ **Ответы:** * а) Площадь полной поверхности: $12\sqrt{3} + 18\sqrt{7} \approx 60,68 \text{ см}^2$ * б) Объём пирамиды: $12\sqrt{3} \approx 20,78 \text{ см}^3$ * в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $\approx 36,87^\circ$ * г) Угол наклона боковой грани к плоскости основания: $\approx 40,89^\circ$ * д) Скалярное произведение векторов: $-12$ * е) Радиус шара, вписанного в пирамиду: $\approx 1,03 \text{ см}$