Объясни, как найти допустимые значения переменной и область определения функции в заданиях 11-17

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: a) $x^2 - 8x + 9$; Допустимые значения переменной - это все действительные числа, так как квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 9$ определен для любого $x$. б) $\frac{1}{6x - 3}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме $\frac{1}{2}$. в) $\frac{7}{3x - 6}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $3x - 6 \neq 0$ $3x \neq 6$ $x \neq \frac{6}{3}$ $x \neq 2$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 2. г) $\frac{x^2 - 8}{4x(x+1)}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $4x(x+1) \neq 0$ $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$ $x \neq 0$ и $x \neq -1$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 0 и -1. д) $\frac{x - 5}{x^2 + 25 - 3x}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $x^2 + 25 - 3x \neq 0$ $x^2 - 3x + 25 \neq 0$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 25$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$ Так как дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Значит, знаменатель не обращается в нуль ни при каких значениях $x$. Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа. е) $\frac{x + 8}{x^2 - x}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $x^2 - x \neq 0$ $x(x - 1) \neq 0$ $x \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$ $x \neq 0$ и $x \neq 1$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 0 и 1. 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: a) $\frac{5y - 8}{11}$; Допустимые значения переменной - это все действительные числа, так как знаменатель не содержит переменную. б) $\frac{25}{y - 9}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $y - 9 \neq 0$ $y \neq 9$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 9. в) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $y^2 - 2y \neq 0$ $y(y - 2) \neq 0$ $y \neq 0$ и $y - 2 \neq 0$ $y \neq 0$ и $y \neq 2$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 0 и 2. г) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $y^2 + 3 \neq 0$ $y^2 \neq -3$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $y^2 + 3 > 0$ при любом значении $y$. Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа. д) $\frac{15}{y - 6 + y + 6}$; $\frac{15}{y - 6 + y + 6} = \frac{15}{2y}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $2y \neq 0$ $y \neq 0$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме 0. е) $\frac{32}{y + 7}$; Чтобы найти допустимые значения переменной, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $y + 7 \neq 0$ $y \neq -7$ Таким образом, допустимые значения переменной - это все действительные числа, кроме -7. 13. Найдите область определения функции: a) $y = \frac{1}{x - 2}$; Область определения - это все значения $x$, при которых функция определена. В данном случае, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $x - 2 \neq 0$ $x \neq 2$ Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме 2. б) $y = \frac{2x + 3}{x(x+1)}$; Область определения - это все значения $x$, при которых функция определена. В данном случае, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $x(x+1) \neq 0$ $x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$ $x \neq 0$ и $x \neq -1$ Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме 0 и -1. в) $y = \frac{1}{x + 6}$; Область определения - это все значения $x$, при которых функция определена. В данном случае, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль: $x + 6 \neq 0$ $x \neq -6$ Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме -6. 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x - 3}{5}$ равно нулю: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $x - 3 = 0$ $x = 3$ Знаменатель равен 5, поэтому он не равен нулю. Таким образом, значение дроби равно нулю при $x = 3$. Правильный ответ: г) 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: a) $\frac{y - 5}{8}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $y - 5 = 0$ $y = 5$ Знаменатель равен 8, поэтому он не равен нулю. Таким образом, значение дроби равно нулю при $y = 5$. б) $\frac{2y + 3}{10}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $2y + 3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ Знаменатель равен 10, поэтому он не равен нулю. Таким образом, значение дроби равно нулю при $y = -\frac{3}{2}$. в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $x(x - 1) = 0$ $x = 0$ или $x - 1 = 0$ $x = 0$ или $x = 1$ Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 4 \neq 0$ $x \neq -4$ Таким образом, значение дроби равно нулю при $x = 0$ и $x = 1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $x(x+3) = 0$ $x = 0$ или $x + 3 = 0$ $x = 0$ или $x = -3$ Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x + 6 \neq 0$ $2x \neq -6$ $x \neq -3$ Таким образом, значение дроби равно нулю при $x = 0$. 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: a) $\frac{m + 4}{6}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $m + 4 = 0$ $m = -4$ Знаменатель равен 6, поэтому он не равен нулю. Таким образом, значение дроби равно нулю при $m = -4$. б) $\frac{7 - 5n}{11}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $7 - 5n = 0$ $5n = 7$ $n = \frac{7}{5}$ Знаменатель равен 11, поэтому он не равен нулю. Таким образом, значение дроби равно нулю при $n = \frac{7}{5}$. в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $b^2 - b = 0$ $b(b - 1) = 0$ $b = 0$ или $b - 1 = 0$ $b = 0$ или $b = 1$ Знаменатель не должен быть равен нулю: $b + 2 \neq 0$ $b \neq -2$ Таким образом, значение дроби равно нулю при $b = 0$ и $b = 1$. г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $y^2 - 25 = 0$ $(y - 5)(y + 5) = 0$ $y - 5 = 0$ или $y + 5 = 0$ $y = 5$ или $y = -5$ Знаменатель не должен быть равен нулю: $3y - 15 \neq 0$ $3y \neq 15$ $y \neq 5$ Таким образом, значение дроби равно нулю при $y = -5$. 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: a) $a > 0$ и $b > 0$; Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна, так как положительное число, деленное на положительное число, есть положительное число. б) $a < 0$ и $b < 0$; Если $a < 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна, так как отрицательное число, деленное на отрицательное число, есть положительное число.