Можешь доказать неравенство 2a² – 8a + 16 > 0?

Конечно, сейчас помогу доказать эти неравенства! 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Разделим обе части неравенства на 2: $a^2 - 4a + 8 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a^2 - 4a + 4) + 4 > 0$ $(a - 2)^2 + 4 > 0$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $(a - 2)^2 ≥ 0$. Следовательно, $(a - 2)^2 + 4 > 0$ при любом $a$. Неравенство доказано. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Выделим полный квадрат: $(4b^2 + 4b + 1) + 2 > 0$ $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $(2b + 1)^2 ≥ 0$. Следовательно, $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ при любом $b$. Неравенство доказано. 3) $a^2 + ab + b^2 ≥ 0$ Умножим обе части неравенства на 2: $2a^2 + 2ab + 2b^2 ≥ 0$ Преобразуем: $(a^2 + 2ab + b^2) + a^2 + b^2 ≥ 0$ $(a + b)^2 + a^2 + b^2 ≥ 0$ Так как квадраты любых чисел неотрицательны, то $(a + b)^2 ≥ 0$, $a^2 ≥ 0$ и $b^2 ≥ 0$. Следовательно, $(a + b)^2 + a^2 + b^2 ≥ 0$ при любых $a$ и $b$. Неравенство доказано. 4) $(3a + 2)(2a – 4) – (2a – 5)^2 > 3(4a - 12)$ Раскроем скобки и упростим: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$ $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ $2a^2 > -3$ $a^2 > -\frac{3}{2}$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $a^2 > -\frac{3}{2}$ при любом $a$. Неравенство доказано. 5) $a(a-3) > 5(a-4)$ Раскроем скобки и упростим: $a^2 - 3a > 5a - 20$ $a^2 - 8a + 20 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a^2 - 8a + 16) + 4 > 0$ $(a - 4)^2 + 4 > 0$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $(a - 4)^2 ≥ 0$. Следовательно, $(a - 4)^2 + 4 > 0$ при любом $a$. Неравенство доказано. 6) $(a – b)(a + 5b) ≤ (2a + b)(a + 4b) + ab$ Раскроем скобки и упростим: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 ≤ 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$ $a^2 + 4ab - 5b^2 ≤ 2a^2 + 10ab + 4b^2$ $0 ≤ a^2 + 6ab + 9b^2$ $0 ≤ (a + 3b)^2$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $(a + 3b)^2 ≥ 0$ при любых $a$ и $b$. Неравенство доказано.