Можешь доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если \angle BAC=\angle ACD и \angle BCA = \angle DAC?

a) Давай разбираться! Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то это значит, что у нас есть две пары накрест лежащих углов, образованных прямыми $AB$, $CD$ и $BC$, $AD$ при секущих $AC$. Из равенства углов $\angle BAC = \angle ACD$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Из равенства углов $\angle BCA = \angle DAC$ следует, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, то по определению $ABCD$ — параллелограмм. б) Раз $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то нам нужно доказать, что $BC \parallel AD$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Значит, $\angle B + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle C)$. Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle B + \angle D = 360^\circ - 2\angle A$. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Тогда $\angle B = \angle D = (360^\circ - 2\angle A) / 2 = 180^\circ - \angle A$. Теперь рассмотрим углы $\angle A$ и $\angle B$. Если $AB \parallel CD$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ$ как внутренние односторонние углы при параллельных прямых. Мы уже знаем, что $\angle B = 180^\circ - \angle A$, значит, $\angle A + (180^\circ - \angle A) = 180^\circ$, что всегда верно. Чтобы доказать, что $BC \parallel AD$, нужно показать, что углы $\angle B$ и $\angle C$ также являются внутренними односторонними и в сумме дают $180^\circ$. Мы знаем, что $\angle C = \angle A$ и $\angle B = 180^\circ - \angle A$, значит, $\angle B + \angle C = (180^\circ - \angle A) + \angle A = 180^\circ$. Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.