Сформулируй и докажи теорему, выражающую первый признак равенства треугольников

Конечно, вот ответы на твои вопросы: 4. **Первый признак равенства треугольников:** Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. *Доказательство:* Представим два треугольника: $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Известно, что $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$. Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, а сторона $AB$ наложилась на сторону $A_1B_1$. Так как $AB = A_1B_1$, то вершина $B$ совместится с вершиной $B_1$. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, сторона $AC$ наложится на сторону $A_1C_1$. Так как $AC = A_1C_1$, то вершина $C$ совместится с вершиной $C_1$. Следовательно, стороны $BC$ и $B_1C_1$ также совместятся. Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совпадают и, следовательно, они равны. 5. **Перпендикуляр** — это отрезок, проведённый из точки к прямой, который образует с этой прямой прямой угол (90 градусов). 6. **Теорема о перпендикуляре:** Перпендикуляр, проведённый из данной точки к данной прямой, короче любой другой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. *Доказательство:* Пусть дана прямая $a$ и точка $A$ вне этой прямой. Проведём перпендикуляр $AB$ к прямой $a$ и наклонную $AC$. Нужно доказать, что $AB < AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет (в данном случае $AB$) всегда меньше гипотенузы (в данном случае $AC$). Следовательно, $AB < AC$.