Конечно, давай решим уравнения с 2 по 6. Это уравнения с дробями, и наша задача — найти такие значения переменных, при которых равенство будет верным. Сейчас все объясню!
2) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$;
Сначала нужно упростить уравнение. Заметим, что $x^2 - 4$ это $(x+2)(x-2)$. Значит, можно привести все дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{16}{(x+2)(x-2)}$
Теперь убираем знаменатели, так как они одинаковые:
$x(x-2) + (x+2)(x+2) = 16$
Раскрываем скобки:
$x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16$
Приводим подобные слагаемые:
$2x^2 + 2x + 4 = 16$
Переносим всё в одну сторону, чтобы решить квадратное уравнение:
$2x^2 + 2x - 12 = 0$
Делим всё уравнение на 2, чтобы упростить:
$x^2 + x - 6 = 0$
Ищем корни квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь корни легко подбираются: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Но! Важно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях. Если $x = 2$, то в знаменателе будет ноль, а на ноль делить нельзя. Значит, $x = 2$ не подходит.
**Ответ: $x = -3$**
3) $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x}$;
Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $x(x+3)(x-3)$:
$\frac{9x(x-3)}{x(x+3)(x-3)} + \frac{14x(x+3)}{x(x+3)(x-3)} = \frac{24(x+3)(x-3)}{x(x+3)(x-3)}$
Убираем знаменатели:
$9x(x-3) + 14x(x+3) = 24(x+3)(x-3)$
Раскрываем скобки:
$9x^2 - 27x + 14x^2 + 42x = 24(x^2 - 9)$
$23x^2 + 15x = 24x^2 - 216$
Переносим всё в одну сторону:
$x^2 - 15x - 216 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен:
$D = (-15)^2 - 4(1)(-216) = 225 + 864 = 1089$
$x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{1089}}{2(1)} = \frac{15 \pm 33}{2}$
$x_1 = \frac{15 + 33}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{15 - 33}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Проверяем, не обращаются ли знаменатели в ноль. Оба значения подходят.
**Ответ: $x_1 = 24$, $x_2 = -9$**
4) $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0$;
Заметим, что $y^2 - 1 = (y+1)(y-1)$. Также, $2y+2 = 2(y+1)$ и $2y-2 = 2(y-1)$. Приводим к общему знаменателю $2(y+1)(y-1)$:
$\frac{(2y+3)(y-1)}{2(y+1)(y-1)} - \frac{(y+1)(y+1)}{2(y-1)(y+1)} + \frac{2}{2(y+1)(y-1)} = 0$
Убираем знаменатели:
$(2y+3)(y-1) - (y+1)(y+1) + 2 = 0$
Раскрываем скобки:
$2y^2 - 2y + 3y - 3 - (y^2 + 2y + 1) + 2 = 0$
$2y^2 + y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 2 = 0$
Приводим подобные слагаемые:
$y^2 - y - 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Проверяем, не обращаются ли знаменатели в ноль. Если $y = -1$, то $2y + 2 = 0$ и $y^2 - 1 = 0$, что недопустимо. Значит, $y = -1$ не подходит.
**Ответ: $y = 2$**
5) $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x}$;
Заметим, что $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$ и $x^2 - 5x = x(x-5)$. Приводим к общему знаменателю $x(x-5)^2$:
$\frac{3x \cdot x}{x(x-5)^2} - \frac{(x-3)(x-5)}{x(x-5)^2} = \frac{(x-5)^2}{x(x-5)^2}$
Убираем знаменатели:
$3x^2 - (x-3)(x-5) = (x-5)^2$
Раскрываем скобки:
$3x^2 - (x^2 - 5x - 3x + 15) = x^2 - 10x + 25$
$3x^2 - x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$
Приводим подобные слагаемые:
$2x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$
Переносим всё в одну сторону:
$x^2 + 18x - 40 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен:
$D = 18^2 - 4(1)(-40) = 324 + 160 = 484$
$x = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2(1)} = \frac{-18 \pm 22}{2}$
$x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Проверяем, не обращаются ли знаменатели в ноль. Если $x = 0$ или $x = 5$, то знаменатели обращаются в ноль. Оба корня подходят.
**Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -20$**
6) $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0$;
Заметим, что $x^2 + 10x = x(x+10)$, $x^2 - 100 = (x-10)(x+10)$ и $x^2 - 10x = x(x-10)$. Приводим к общему знаменателю $x(x+10)(x-10)$:
$\frac{(x-20)(x-10)}{x(x+10)(x-10)} + \frac{10x}{x(x+10)(x-10)} - \frac{5(x+10)}{x(x+10)(x-10)} = 0$
Убираем знаменатели:
$(x-20)(x-10) + 10x - 5(x+10) = 0$
Раскрываем скобки:
$x^2 - 10x - 20x + 200 + 10x - 5x - 50 = 0$
Приводим подобные слагаемые:
$x^2 - 25x + 150 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.
Проверяем, не обращаются ли знаменатели в ноль. Если $x = 0$, $x = 10$ или $x = -10$, то знаменатели обращаются в ноль. Значит, $x = 10$ не подходит.
**Ответ: $x = 15$**
