Найди sin α, если cos α = 1/2

1013 a) Чтобы найти $\sin \alpha$, зная $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставляем известное значение косинуса: $$\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{3}{4}$$ $$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}}$$ $$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Так как не указан квадрант, то $\sin \alpha$ может быть как положительным, так и отрицательным. **Ответ:** $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ б) Дано: $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Подставляем значение косинуса: $$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{5}{9}$$ $$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}}$$ $$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$$ **Ответ:** $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$ в) Дано: $\cos \alpha = -1$. Вспоминаем, в какой точке на единичной окружности косинус равен -1. Это точка, где угол $\alpha = \pi$ (или 180 градусов). В этой точке синус равен 0. **Ответ:** $\sin \alpha = 0$ 1014 a) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Подставляем значение синуса: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$$ $$\cos \alpha = \pm\frac{1}{2}$$ **Ответ:** $\cos \alpha = \pm\frac{1}{2}$ б) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Подставляем значение синуса: $$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16}$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{15}{16}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}}$$ $$\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$ **Ответ:** $\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$ в) Дано: $\sin \alpha = 0$. Вспоминаем, в какой точке на единичной окружности синус равен 0. Это точки, где угол $\alpha = 0$ или $\alpha = \pi$ (0 или 180 градусов). В этих точках косинус равен 1 или -1 соответственно. **Ответ:** $\cos \alpha = \pm 1$